[绪论几何的起源与欧几里得几何体系]1 几何的起源与演进1 1 几何的起源与演进几何的起源与演进 众所周知，数学的研究对象归根结蒂是客观世界的数量关系和空间形式．研究空间形式，是通过对空间形式的抽象——几何图形的研究而进行的．研究的目的，在于认识几何图形的形状、大小和位置关系等方面的内部规律，用以满足指导生活与生产上的需要．和其它科学以及数学的其它分支一样，作为研究几何图形的科学——几何学，也是随着生活与生产的发展而逐步发展起来的：从抽象的几何图形的产生；到根据经验归纳出的、对几何图形内部规律的初步认识；再到从理论上对几何图形内部规律的论证，并形成理论体系；再到不同的几何学各分支的建立，等等．在这里，对初等几何学的起源与演进，作一简要的概述．一、归纳经验的几何一、归纳经验的几何几何图形的产生年代，已不可考．从出土的考古资料可知，至少在十万年前，在器皿上已出现了几何图形的花纹；某些器皿、工具也都呈现了几何形状．公元前二千年夏禹治水时，相传是以规、矩等绘制几何图形的工具，并经过了测量、设计工作，虽然这只是传说，但以偌大的水利工程而论，这种传说还是可信的．更何况在殷代的甲骨文(至少是公元前 12 世纪的文件)中，已有了“规”、“矩”二字；在反映周代天文的《周髀算经》一书中，已明确了矩(相当于直角三角)在测量中的作用，指出了今日所说的勾股定理．在西方，从现存的古埃及、巴比伦等国的史料可以看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形的知识．据历史学家的考据，今日西方各国的“几何学”一词，如英文中的“Geometry”等，来源于希腊文．而此希腊文的原意是“测地术”．它反映的是，当时埃及的尼罗河每年泛滥而冲毁地界，事后必重新丈量土地，从而产生了测量土地的几何图形大小的测量法．确实，在现存的古埃及数学的《纸草纸》书中，记载了一系列的简单平面几何图形的面积计算公式．此外，还记载有计算容积、计算土方的公式等．很明显，几何知识是由天文、测地、求积等需要而产生的．以当时社会状况而论，研究天文、测地、求积，基本上为的是农业的需要．因此，几何知识也确是来源于生产实践又用于生产实践的．由于在这些史料中，对总结出的几何知识的真实性都未作推理证明；某些计算公式只是近似的，并不精确；直至公元前 7 世纪的史料中，才见有对几何知识的推理证明，因而在公元 7 世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段．二、初步的推理几何二、初步的推理几何由现存的史料可知，在公元前 7 世纪，对几何知识开始了逻辑推理的论证，当然是初步的，也就是说从经验和已有的几何知识出发，按照逻辑的要求，对某一项几何知识进行推理论证．作为代表人物，首先是古希腊的泰勒斯(Thales，约公元前 64 年)．如，“对顶角相等”、“等腰三角形的底角相等”、“半圆的内接角是直角”等，这些定理都是他首先提出，并作了推理论证的．其次是古希腊的毕达格拉斯(Pythagoras，约公元前 530 年)．如，“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体存在”等定理都是由毕达格拉斯学派(毕达格拉斯创立学校，形成毕达格拉斯学派．这个学派将所有发现都归功于毕达格拉斯，因而很难知道哪个定理是毕达格拉斯本人提出的)首先提出，并作了推理论证的(勾股定理最早虽然是我国提出的，但未见推理论证．在西方，则首先由毕达格拉斯学派提出，并作了推理论证)．古希腊的柏拉图(Plato，公元前 427～347 年)，虽然他主要是哲学家，着重研究逻辑，但在他所设的学校门口写着：“不懂几何的人不得入内．”这说明了逻辑推理用于几何知识的论证程度．由于逻辑推理的运用必须从定义出发，因而可知此时的几何知识，也必定进入概念化的阶段了．我国最早的论述科学的书籍之一《墨经》中(约成书于公元前 4 世纪)，便载有几何上的定义，如，平行线(平面)的定义是：“平，同高也．”圆的定义是：“圜，一中同长也．”等等．但是，直至公元前 4 世纪，还未见有按照逻辑要求编排的、系统的几何书籍出现．因而在公元前 4 世纪前，可以说几何的研究进入到了初步的推理几何阶段．三、系统的推理几何三、系统的推理几何————欧几里得欧几里得《《原本原本》》的编成的编成作为系统的推理几何的标志，就是众所周知的、古希腊欧几里得(Euclid，约公元前 300 年)所著的《原本》一书的出现．《原本》中，除少量的数论知识外，大部分都是几何知识的内容．这些几何知识的内容是前人提出的，而由欧几里得汇集在一起，按逻辑要求的顺序、前因后果地进行了编排；并先提出定义和公理，而后在这基础上，对各项知识都作了推理论证．《原本》可以说是历史上第一部按逻辑的要求编成的、系统的推理几何的书籍，也是历史上第一部按逻辑的要求编成的、系统的数学书籍．1．《原本》中几何知识的大体内容第一卷首先提出 23 个定义、5 项公设(几何方面的公理)、10 项公理(数量关系方面的公理)，而后提出 48 个命题(①今日几何书中的定理和问题，在《原本》中统称命题． )及其论述．命题中含有三角形(全等，边角关系)、垂直线和平行线、平行四边形、多边形的面积、勾股等定理．其中的定义举例如下：(1)点是无大小的．(2)线是有长无宽的．(3)线之界(端)是点．(4)直线是与其上的点看齐的线．(5)面是只有长和宽的．(6)面之界是线．(7)平面是与其上的直线看齐的面．(8)平面角是平面上两相交直线的倾斜度．(15)圆是包含在一线里的那种平面图形，使得从其内某一点连到该线的所有点的直线都相等．(23)平行直线是同一平面内，往两个方向无限延长后，在两个方向上都不会相交的直线．其中的公设是：Ⅰ．从每一点到另一点可引直线．Ⅱ．每一直线都可以无限延长．Ⅲ．以任一点为中心可用任意半径作圆．Ⅳ．凡直角皆相等．Ⅴ．一条直线与二直线相截，如果截出的某一侧的两内角的和小于二直角，此二直线必相交，且交于同侧两内角和小于二直角的那一侧．其中的公理举例如下：Ⅰ．等于同量的量相等．Ⅱ．等量加等量其和相等．Ⅳ．不等量加等量其和仍不等．Ⅸ．全量大于分量．Ⅹ．两直线不能包围平面的一部分(①据考证，公理Ⅹ是后人添加的。
).第二卷由 14 个命题组成．包含论线段计算的恒等式、黄金分割(中外比)、勾股定理推广等定理．第三卷由 37 个命题组成．包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂等定理．第四卷由 16 个命题组成．包含圆的内接和外切多边形的性质及正 5、6、10 边形的作图等．第五卷由 25 个命题组成．内容为欧多克索斯(Eudoxus，古希腊，约公元前 400 年)的比例论．第六卷由 33 个命题组成．包含平行截割定理、三角形的平分角线定理、相似三角形定理、比例线段的作图等．(第七一九卷数论初步)第十卷由 117 个命题组成．内容为论不可公度的量、与整数开平方的有关的几何运算等．第十一—十三卷(立体几何)分别由 40、18、19 个命题组成．包含直线与平面的相关位置、多面角、棱柱体、相似体体积之比及正多面体等定理．2．《原本》的主要特点(1)突出的特点①是有史以来，按逻辑要求编成的、反映公理法的第一部演绎体系的数学书．②不以数表示量的大小．凡涉及度量问题，如线段、面积等的大小问题时，均只论及等于、大于、小于的关系．更突出的是关于比例的定义，和今日几何书上通常的定义不同(当然等价)．用今日符号写出当时的比例定义就是：如果 p，q 是两个同类量；p′，q′是两个同类量(不必与 p，q′，q′就叫做成比例的量，记作 p∶q=p′∶q′．③不以“平行线唯一”的形式表达平行公理，而表之以公设Ⅴ．(2)对后世的突出作用①成为公认的、历史上第一部巨大的科学典籍．②奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础；是公理法的开端．③反映出欧几里得及当时数学水平已达到的高度，尤其是对某些问题的处理．如引进了欧多克索斯的比例定义．原来虽然已明确了不可公度量的存在，但数的概念尚未发展到无理数的阶段．当一单位线段与一线段无公度时，对该线段的长度还解释不了．因而，如果以今日的处理办法来定义比例线段，作为基础的两线段之比的定义，便不能完整地刻划出来．欧几里得选取了欧多克索斯的比例定义，既保持了定义的完整性，避开了尚属存疑的“漏洞”；而且也保持了与今日定义的等价性．④是较长时期以来，用以培养学生的逻辑推理能力的典型课本．(3)较突出的缺点以今日的眼光看来，《原本》还是有不少缺点的，较突出的有：①《原本》中有些定义模糊不清，用了未经定义的概念，如“界”、“长”、“宽”、“看齐”等．因而起不到逻辑上的作用．实际上，在后文中也没有明白地利用这些，列出这些只是对几何形象的描写就是了．至于作为一般定义基础的、由公理制约的基本概念，在《原本》中就更没有划分出来了．②《原本》中所提出的公设和公理，在逻辑上虽然都是必要的，但是并不够．因而在后文论证定理时，有些论据只是靠直观、经验了．四、四、《《新欧几里得几何原本新欧几里得几何原本》》的编成的编成公元 1794 年法国数学家勒让德(Legendre，1752—1833)就着《原本》中的几何部分作了较大的修改，编成了《新欧几里得几何原本》．其主要特点是：1．把《原本》中的非几何部分去掉，重新整理、编排；并把“命题”中的定理和问题截然分清了．2．加入了非负实数轴，从而把以数表量的内容纳入了几何．3．把《原本》中的比例部分，改用了今日课本中的处理办法(今日的处理办法，实即由该书沿袭下来的)．4．把《原本》中的第 V 公设，换成和它等价的、由普雷菲尔(Playfair，1748—1819)提出的平行公理，即沿袭至今日课本中平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线，和原直线平行．这本书出现后，便成了此后直至今日的、多数初等几何课本的蓝本了．注．《几何原本》之名，最早出现在我国．公元 1607 年，徐光启(1562—1633)与传教士利马窦(MatteoRicci，1552—1610)合译了《原本》的前 6 卷，便定名为《几何原本》．在西方，《几何原本》之名，则从勒让德的书开始．。
