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1、剖析概率问题常见题型剖析概率问题常见题型1、利用所有事件概率的和是 1,求某事件的概率例 1、不透明的口袋中有质地、大小、重量相同的白色球和红色球数个,已知从袋中随机摸出一个红球的概率为31,则从袋中随机摸出一个白球的概率是_.分析:在这个事件中,一共有两类事件,一类是白色球出现的概率,一类是红色球出现的概率,并且红色球出现的概率与白色球出现的概率的和是 1,这样,我们就很容易求白色球的概率了.解:因为,红色球出现的概率+白色球出现的概率=1,红球的概率为31,所以,白色球的概率是:1-31=32.因此,此空应该填32.2、取数构造点的坐标,以点在直线上为事件,求概率例 2、已知 M(a,b)
2、是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a 是从 l,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 l,2,3,4 四个数中任取的一个数定义“点 M(a,b)在直线 x+y=n 上”为事件Qn (2n7,n 为整数),则当Qn的概率最大时,n 的所有可能的值为_分析:利用列表法,列举出所有点的可能性:1231(1,1)(2,1)(3,1)2(1,2)(2,2)(3,2)3(1,3)(2,3)(3,3)4(1,4)(2,4)(3,4)根据定义“点 M(a,b)在直线 x+y=n 上”为事件Qn,我们应理解为,a+b 的和出现次数最多时 ,对应的 n 的值,就是我们所求的,但是在解答是,千万不要忘记了“
3、2n7,n 为整数”这个非常重要的条件.因为,a+b 的和为:2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,一共有 12 种可能,其中,和为 2 的概率是:121;和为 3 的概率是:122=61;和为 4 的概率是:123=41;和为 5 的概率是:123=41;和为 6 的概率是:122=61;和为 7 的概率是:121;概率最大的是和为 4 的概率与和为 5 的概率,所以,n 的值是 4 或 5.3、取数构造点的坐标,以点在三角形内部为事件,求概率在平面直角坐标系xOy中,直线3xy与两坐标轴围成一个AOB.现将背面完全相同,正面分别标有数 1、2、3、21、31的 5 张卡片洗匀后,
4、背面朝上,从中任取一张,将该卡片上的数作为点 P 的横坐标,将该数的倒数作为点 P 的纵坐标,则点 P 落在AOB内的概率为 .分析:首先,要求出所有点 P 的坐标,分别是(1,1),(2,21),(3,31),(31,3),(21,2),说明点 P 的出现一共有 5 种可能性;其次,直线 y=-x+3 与 x 轴的交点坐标是(3,0),与 y 轴的交点坐标是(0,3),满足点 P 落在AOB 内的条件是:点 P 的横坐标小于 3,同时,对应的 y 值,要小于点 P 在直线 y=-x+3 上时的函数值,具体分析:当 x=1 时,y=2,因此,点(1,2)在直线 y=-x+3 上,因为,12,所
5、以,(1,1)落在AOB 内,当 x=2 时,y=1,因此,点(2,1)在直线 y=-x+3 上,因为,211,所以,(2,21)落在AOB 内,当 x=3 时,y=0,因此,点(3,0)在直线 y=-x+3 上,因为,310,所以,(3,31)在AOB 外部,当 x=31时,y=232,因此,点(31,232)在直线 y=-x+3 上,因为,3232,所以,(31,3)落在AOB 外部,当 x=21时,y=2.5,因此,点(21,2.5)在直线 y=-x+3 上,因为,22.5,所以,(21,2)落在AOB 内,因此,落在三角形内部的点一共有三种可能性,根据概率的定义,点 P 落在AOB 内
6、的概率为用落在AOB 内的可能性除以所有的可能性.即概率为:53=0.6.解:点 P 落在AOB 内的概率为 0.6.4、利用转盘,以数的奇偶性为事件,求概率例 4、如图 1 所示,一个圆形转盘被等分成五个扇形区域,上面分别标有数字1、2、3、4、5,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止转动转盘一次,当转盘停止转动时,记指针指向标有偶数所在区域的概率为P(偶数),指针指向标有奇数所在区域的概率为P(奇数),则P(偶数) P(奇数)(填“”“”或“”)分析:把转盘上的数字,一一列出,然后把数字按照奇偶性,进行分类,在数字 1、2、3、4、5 中,1、3、5 是奇数,2、4 是偶数,因此,偶
7、数的概率是:52;因此,奇数的概率是:53;所以,偶数的概率小于奇数的概率.所以,我们选择小于号.5、借助两个转盘,以转盘指针所指数字和为事件,求概率例 5、如图 2-1 所示,A、B 两个转盘分别被分成三个、四个相同的扇形,分别转动 A盘、B 盘各一次(若指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字为止).(1)用列表(或画树状图)的方法,求两个指针所指的区域内的数字之和大于 7 的概率.(2)如果将图(1)中的转盘改为图 2-2 所示,其余不变,求两个指针所知区域的数字之和大于 7 的概率.(09 年泰安市)分析:求概率的常用方法是列表或画树状图法,后对应求和,最后,按要求求所求
8、的和的概率即可.提醒同学们要注意的是:2-2 中半圆 6,与其余两个的性质还是不相同的,要把它变成等可能性的才行.解:(1)画树状图如下:所以,两个指针所指的区域的数字之和共有 12 种情况,分别是:5,6,7,8,6,7,8,9,7,8,9,10,其中和大于 7 的有 8,8,8,9,9,10,一共 6 种,因此两个指针所知区域内的数字之和大于 7 的概率为21 126;(3)如图 2-3 所示,将标有“6”的半圆等分成两个扇形,画树状图如下:所以,两个指针所指的区域的数字之和共有 12 种情况,分别是:5,6,7,7,6,7,8,8,7,8,9,9,其中和大于 7 的有 8,8,8,9,9 一共 5 种,因此两个指针所知区域内的数字之和大于 7 的概率为125.