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1、第 1 页共 12 页 第 2 页共 12 页(实变函数实变函数)课程考试试卷（课程考试试卷（A）卷）卷一、填空题(32 分)。1.设=(0,)，=(0,),=1,2 则，12 Ann1n2Ann,Llim_nnA 。lim_nnA 2.点集 E 为闭集的充要条件是_。(写出一个即可) 3.设 E 为可数点集，则 mE=_。 4.(Carathodory 条件)设 E,我们称 E 是 L 可测的，是指如果对任一点集 Tn 都有_。 5.(可测函数与简单函数的关系)设 f(x)在 E 上可测，则 f(x)总可以表示成 _。 6.若 f(x)在 E 上可测，则|f(x)|在 E 上可测，但反之未必
2、成立，试举例说明 _。 7.(L 积分的绝对连续性)设 f(x)在 E 上可积分，则对任何可测集 AE，有 _。 8.(Jordan 分解)在a,b上的任一有界变差函数 f(x)都可表示为_ _。 二、叙述题(8 分) 。 9.请叙述 Lebesgue 控制收敛定理，并给出它的一个推论。三、证明题（60 分） 10.设 A 是一个无穷集合，则必有，使，而可数。A AAA:AA 11.设 E,若对任意的0,存在闭集 FE，使得 m （E-F）0,使对任何，都有M0b V( ) afM 则 f(x)是a,b上的有界变差函数。15.设为 E 上可测函数，令,则( )0f x ( )nf x( ),0
3、,f xxE fnxE fn当0,存在可( )nfx( )f x测集，使而在上一致收敛于(4 分)设是中EE()m EEnfE( ).f x0EE不收敛点的全体，则对任意，(因为上收敛)，所以0EEEEnf，令得，所以在 E 上 a.e. 收敛于0()mEm EF0,00mE ( )nfx( )f x(不必有有界条件)。证毕。(10 分)。13.证明 对任意，由非负可知0nf。(4 分) |( )( )nnnnE fEmEffx dxfx dx 因此， (8 分)1|( )nnEmEffx dx1lim|lim( )0nnEnnmEffx dx即。证毕。 (10 分)( )0nfx 14.证明
4、 对任意，因( , )xa b第 5 页共 12 页 第 6 页共 12 页，|( )( )|( )bxf xf bV fM所以，(2 分)对于a,b的任何分划， |( )|( )|f xMf bT01:,nT axxxbL则对应于分划的变差T=1 1|( )()|nii iVf xf x 11 2|()( )|( )()|nii if xf af xf x (8 分)11|()|( )|( )2|( )|( )|bxf xf aV fMf bf a，因此b V( )2|( )|( )|, afMf af b 即是a,b上的有界变差函数，证毕。 (10 分)( )f x15.证明 令，所以,A
5、E f 则0mA ( )0. Af x dx 又在上，所以A ( )0nf x ( )0.nAf xdx 故 (4 分)( )lim ( )0.nAAnf x dxf xdx 在上，且EA1 ( ) ( ),1,2,nnf xf xnL，lim ( )( )nnf xf x 由 Levi 定理有(6 分)( )lim ( ),nE AE Anf x dxf xdx 所以( )( )( ) EAE Af x dxf x dxf x dx lim ( )lim ( )nnAE Annf xdxf xdx lim ( ) ( )nnAE Anf xdxf xdx =lim ( )n Enf xdx
6、即 =。证毕。 （10 分）lim ( )n Enf xdx ( ) Ef x dx安徽工程大学安徽工程大学 20082008 20092009 学年第一学期学年第一学期出卷老师 王立伟 审卷老师 适用班级 数学 06 教学班教学班 王立伟 1 班 序号序号 姓名姓名 自然班自然班 学号学号 第 7 页共 12 页 第 8 页共 12 页( (实变函数实变函数) )课程考试试卷（课程考试试卷（B B）卷）卷考试时间 120 分钟，满分 100 分要求：闭卷，开卷 ；答题纸上答题 ，卷面上答题 (填入)七、填空题(32 分)。1.设=0,1+, =1,2 ,。nAn1n,Llim_nnA lim
7、_nnA 2.点集 E 为开集的充要条件是_。(写出一个即可) 3.设 E 为0,1中的全体有理数，则=_。mE4.设 AB=，则使成立的条件是_。()mABm B5.(可测函数与简单函数的关系)设 f(x)在 E 上可测，则 f(x)总可以表示成 _。 6.设 f(x)在可测集 E（mE0 在a,b上处处成立，( )f x( )f x 则也为a,b上的有界变差函数。1 ( )f x15. 设为 E 上可测函数，令,则( )0f x ( )nf x( ),0,f xxE fnxE fn当+a.e.于 E 时，有 =. ( )f xlim ( )n Enf xdx ( ) Ef x dx安徽工程
8、安徽工程大学大学20082008 20092009 学年第一学期学年第一学期出卷老师 王立伟 审卷老师 适用班级 数学 06 教学班教学班 王立伟 1 班 第 9 页共 12 页 第 10 页共 12 页( 实变函数 )课程考试试卷（B）卷答案及评分标准十、填空题(4 8=32 分)。1.0,1,0,1 2. 3.0)EEEEoo （或4. 0m A5.一列简单函数的极限函数，而且还可办到n( )lim( )nnf xx 。12|( )| |( )|xxL6. 在 E 上可测( )f x7. 0lim( )0 AmAf x dx 8.两个增函数之差 十一、 叙述题(8 分)9.设是可测集上的一
9、列非负可测函数，则nfqE (4 分)lim( )lim( ).nnEEnnfx dxfx dx 举例举例 设11,2( )110,10.2nnxnnfx xxnn 或因为，所以又有lim( )0nnfx 10lim( )0.nnfx dx 11 211001 211( )00,2nnnnnfx dxdxndxdxgg故得101lim( ).2nnfx dx 所以 （8 分）1100lim( )lim( ).nnnnfx dxfx dx 十二、 证明题(6 10=60 分)。10.证明 令为的含有个元素的子集全体,则的所有有限子集作成的nAAnA集合=.取显然。A1n nAU12(,)|1,2
10、, ,nniBa aaainLL是有理数，nnAB:由于=a，从而=a，=a。证毕。 （10 分）nB1n nAUA11.证明 设对任意，存在开区间，使，|1,2,.iEx iL0iIiixI且（在空间中取边长为的包含的开区间） （6 分） |2iiIp2ip ixiI所以由的任意性得 （10 分）11,|.ii iiIEIU且0.m E证毕.12证明 因为则存在使在上收敛到( )( ),nfxf x, innff( ) infxE. .ae。 （2 分）设是不收敛到的点集。则( )f x0E( ) infx( )f x1,nnnEE ff因此00,0.nmEmE（6 分） 00()0nn n
11、nmEmEU在上，收敛到，且是单调的。因此收敛到0n nEEU( ) infx( )f x( )nfx( )nfx。即除去一个零集外，收敛于，就是收敛到( )f x0n nEU( )nfx( )f x( )nfx. .ae。证毕。 （10 分）( )f x13. 证明 由引理，Fatou|( )|lim|( )|nEE nf xdxfxdx lim|( )|,nEnfxdxK 故可积，所以可积。证毕。 (10 分)|( )|f x( )f x14.证明 对于a,b作分划， T01:,nT axxxbL第 11 页共 12 页 第 12 页共 12 页则对应于分划的变差T=1111|( )()niiiVf xf x111( )()|( ) ()n iiiiif xf x f xf x。 (8 分)122a111|( )()|V( )nbii i
