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1、 1 / 12（一）机械振动（一）机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。（二）简谐振动（二）简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振
2、动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即 F=kx，其中“”号表示力方向跟位移方向相反。2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。1
3、. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期 T 跟频率f之间是倒数关系，即 T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。（四）单摆：摆角小于（四）单摆：摆角小于 55的单摆是典型的简谐振动。的单摆是典型的简谐振动。细线的一端固定在悬点，另
4、一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于 5，单摆的回复力 F 是重力在圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是 T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和 g 有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其 g 应为等效加速度。（五）振动图象。（五）振动图象。简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要
5、把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。（六）阻尼振动、受迫振动、共振。（六）阻尼振动、受迫振动、共振。简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。振动物体如果在周期性外力策动力作用下振动
6、，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。 【典型例题典型例题】例 1 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过 M、N 两点时速度v（v0）相同，那么，下列说法正确的是（ ）A. 振子在 M、N 两点受回复力相同 B. 振子在 M、N 两点对平衡位置的位移相同C. 振子在 M、N 两点加速度大小相等 D. 从 M 点到 N 点，振子先
7、做匀加速运动，后做匀减速运动解析：解析：建立弹簧振子模型如图所示，由题意知，振子第一次先后经过 M、N 两点时速度 v 相同，那么，可以在振子运动路径上确定 M、N 两点，M、N 两点应关于平衡位置 O 对称，且由 M 运动到 N，振子是从左侧释放开始运动的（若 M 点定在 O 点右侧，则振子是从右侧释放的）。建立起这样的物理模型，这时问题就明朗化了。2 / 12因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N 两点关于 O 点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反。由此可知，A、B 选项错误。振子在 M、N 两点的加速度虽然方向相反
8、，但大小相等，故 C 选项正确。振子由 MO 速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由 ON 速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故 D 选项错误，由以上分析可知，该题的正确答案为 C。例 2 一质点在平衡位置 O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经 0.13 s 质点第一次通过 M 点，再经 0.1 s 第二次通过 M 点，则质点振动周期的可能值为多大?解析：解析：将物理过程模型化，画出具体的图景如图 1 所示。设质点从平衡位置 O 向右运动到 M 点，那么质点从 O 到 M 运动时间为 0.13 s，再由 M 经最右
9、端 A 返回 M 经历时间为 0. 1 s；如图 2 所示。另有一种可能就是 M 点在 O 点左方，如图 3 所示，质点由 O 点经最右方 A 点后向左经过 O 点到达 M 点历时 0.13 s，再由M 向左经最左端 A，点返回 M 历时 0.1 s。根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性。如图 2 所示，可以看出 OMA历时 0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到 T140.18 s0.72 s。另一种可能如图 3 所示，由 OAM 历时 tl0.13 s，由 MA历时 t20.05 s，设 MO 历时 t，则 4（t+t2）t1+2t2+t，解得 t0. 01 s，则 T24（t+
10、t2）0.24 s，所以周期的可能值为 0.72 s 和 0.24 s 例 3 甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）A. 两弹簧振子完全相同 B. 两弹簧振子所受回复力最大值之比 F甲F乙=21C. 振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D. 振子的振动频率之比 f甲f乙=12解析：解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比 T甲T乙=21，得频率之比 f甲f乙=12，D 正确。弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数 k 有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A 错误。由于弹簧的劲度系数 k 不一定相同，所以两振子受回复力（F=kx）的最大值之比 F甲F乙不一定为 21，所以 B 错误，对
11、简谐运动进行分析可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰到达平衡位置，所以 C 正确。答案为 C、D。例 4 在海平面校准的摆钟，拿到某高山山顶，经过 t 时间，发现表的示数为 t，若地球半径为 R，求山的高度 h（不考虑温度对摆长的影响）。解析：解析：由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化，而这种变化是由于重力加速度的变化引起的，所以，可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化，再根据万有引力公式计算出高度的变化，从而得出山的高度。一般山的高度都不是很高（与地球半径相比较），所以，由于地
12、球自转引起的向心力的变化可以不考虑，而认为物体所受向心力不变且都很小，物体所受万有引力近似等于物体的重力。（1）设在地面上钟摆摆长l，周期为 T0，地面附近重力加速度 g，拿到高山上，摆振动周期为 T，重力加速度为 g，应有从而 3 / 12（2）在地面上的物体应有在高山上的物体应有得例 5 在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为 k1、k2的轻弹簧系住一个质量为 m 的小球。开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离 x 后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动。试问小球是否作简谐运动？解析：解析：为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情况，找出回复力，确定它能否写成 F=kx 的形式。
13、以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置 O 左方某处时，偏离平衡位置的位移为 x，则左方弹簧受压，对小球的弹力大小为 f1=k1x，方向向右。右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为 f2=k2x，方向向右。小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为 F=f1+f2=（k1+k2）x，方向向右。令 k=k1+k2，上式可写成 F=kx。由于小球所受回复力的方向与位移 x 的方向相反，考虑方向后，上式可表示为 F=kx。所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面作简谐运动。点评：点评：由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤：确定研究对象（整
14、个物体或某一部分）分析受力情况找出回复力表示成 F=kx 的形式（可以先确定 F 的大小与 x 的关系，再定性判断方向）。例 6 如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于 a 位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到 b 位置。现将重球（视为质点）从高于 a 位置的 c 位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置 d。以下关于重球运动过程的正确说法应是（ ）A. 重球下落压缩弹簧由 a 至 d 的过程中，重球做减速运动。 B. 重球下落至 b 处获得最大速度。C. 重球下落至 d 处获得最大加速度。D. 由 a 至 d 过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由
15、 c 下落至 d 处时重力势能减少量。解析：解析：重球由 c 至 a 的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由 a 至 b 的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由 b 至 d 的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至 b 处获得最大速度，由 a 至 d 过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由 c 下落至 d 处时重力势能减少量，即可判定 B、D 正确。C 选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以 b 点为平衡位置做简谐运动，在 b 点下方取一点 a，使 ab=
16、ab ，根据简谐运动的对称性，可知，重球在 a、 a的加速度大小相等，方向相反，如图所示。而在 d 点的加速度大于在 a点的加速度，所以重球下落至 d 处获得最大加速度，C 选项正确。答案：答案：BCD例 7 若单摆的摆长不变，摆角小于 5，摆球质量增加为原来的 4 倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的 1/2，则单摆的振动（ ）A. 频率不变，振幅不变 B. 频率不变，振幅改变 C. 频率改变，振幅改变 D. 频率改变，振幅不变解析：解析：单摆的周期 T=，与摆球质量和振幅无关，只与摆长L和重力加速度 g 有关。当摆长L和重力加速度 g 不变时，T 不变，频率f也不变。选项 C、D 错误。单摆振动过程中机械能守恒。摆球在最大位置 A 的重力势能等于摆球运动到平衡位置的动能，即mgL（1cos）=m 2 =，当减小为/2 时，增大，减
