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1、第 1 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 数学建模实现研究性教学的一个平台 李 琦 （ 北京交通大学理学院 北京，100044 ） 李 琦 （ 北京交通大学理学院 北京，100044 ） 摘 要 人类科学技术数千年的发展史告诉我们，模型方法是人类从事科学活动的基础，它在人类认识世界、发现世界、创造世界的过程中发挥着无可替代的作用，没有模型就没有科学。模型的建造过程是多学科知识融汇贯通的过程，是人类创造思维的体现，这一过程凝聚了人类智慧的精华。人们通过模型思考，又通过模型再创造。因此，模型方法应在高等教育中得到应有的重视。 数学、物理、力学、经济、医学，凡需要用到数学的学科或问题其最终
2、的表现形式都是以“模型化(Modeling)”体现的，因此“数学模型化”是沟通学科之间的联系，使数学自身及数学与应用学科形成有机整体，推动科学技术发展的一个基本要素。将数学建模思想融入到大学数学主干课程中，将有益于学生完整地、全面地理解和掌握学科中所涉及课程的知识，将所学的知识有机地融为一体，真正实现将知识转化为能力。 科学技术发展要求高等教育拓宽基础，加强学科之间的联系，这就需要人们寻求支撑多学科的共同载体，对这一问题的思考仅从学科建设与课程建设的角度加以研究是很难找到恰当的出路的，跳出学科建设与课程建设的圈圈，从一个更为宽泛的角度思考问题不失为一种好思路。 研究性教学是为适应现代化科学技术
3、发展对人才的需求所提出的一种教学观点。为了真正实现研究性教学，并考虑到上述众多因素，本文提出两个新观点：第一，建立学科教学平台的观点；第二，将传授讲解式教学模式转化为面向问题的教学模式。并予以较充分的阐述。 关键词：关键词：研究性教学，数学建模，教学平台，发散性思维，逻辑性知识，启发性知识，创造力，结构，模式，数学读写能力，模型化(Modeling)，面向问题的数学 第 2 页 共 16 页 第 2 页 共 16 页 研究性教学是在科学技术现代化发展的大形势下提出的一种教学观点，然而一种观点的提出并不足以对教学产生应有的实际影响，如果我们能够对这一观点的理论、意义与实践方法进行更深入、系统地探
4、索与研究，将其转化为具有可行性的指导方针及措施，那么它才会引导人们对教学体系、教学理念、教育思想，以至教学方法等诸多方面的深层次思考，从而对教育体系的改革发挥实质性的作用，产生我们所期望的效果。这里我想就数学如何实现研究性教学谈一点自己粗略的想法，以期达到抛砖引玉的愿望。 一、要开展研究性教学，首先需要打造能够适应研究性教学的平台要开展研究性教学，首先需要打造能够适应研究性教学的平台 平台是现代化工业生产的基本标志与特征，是高科技转化为生产力的必然产物，是提高生产效率的重要手段。高尔夫、宝来、甲壳虫是德国大众旗下生产出来的三款面向不同的消费群体，从外观到核心部件都完全不同的车型，然而它们却是在
5、同一个平台上设计、生产出来的，由此可见平台是现代化大规模生产的基础与保证。有了这个保证才能够使人们作进一步的开发，生产出各种能够适应市场需要的产品来。 教育是为社会的上层建筑和经济基础服务的，因此，不同时期的上层建筑和经济基础必然对那一个时期的教育理念与模式发生决定性的影响和作用。这就是说不同时期的教育思想、教育理论与教育形式是不同的，它们都是建立在一定的社会理念、社会经济基础、社会科学技术发展基础之上的，教育必须与社会的经济基础与发展相适应。在这一基础上形成了适应不同社会阶段的不同教育模式，比如：我国封建时期的私塾，以及半封建、半资本主义时期的洋学堂等等。 不仅如此，不同的历史时期教育模式不
6、同，而且教育理念、教育内容、教育方法、教育手段、教育形式也有着本质的不同。中国封建时期的教育，是典型的重文轻理，一个人获得了状元的殊荣，但是他很可能对数学、物理、天文知之甚少，也就是说理科知识并不是社会人才需求的必须；到了后来，随着西方文化的逐步渗入，使得人们对科学可能对人类活动产生的影响的认识发生了本质性的变化，重文轻理的现象随之逐步改变，以至到了上个世纪中叶，出现了“学会数理化，走遍天下都不怕”的普遍共识，足以可见人们对理科的重视程度了。 第 3 页 共 16 页 第 3 页 共 16 页 但是在上个世纪五、六十年代以前，由于生产力相对低下，社会对人才的需求形式以及对人才的知识结构要求普遍
7、相对单一，特别是各个学科知识的关联程度并不像现在显现的那样紧密，虽然在物理、力学、天文学等学科中需要用到数学，但基本上都是利用数学完成相应的运算，于是在工科院校中如何才能有效地培养学生的数学运算能力就成为当时数学教学的中心任务。计算尺是工程师的必备工具，几乎人手一把。尽管如此，在上个世纪中叶一些具有远见卓识的数学家对这种只注重形式演算的数学教学模式还是发出过严重的警告，比如：十九世纪末二十世纪初世界顶尖级数学家 R.柯朗就曾经明确地指出： “二千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，数学在教育中的这种传统地位，今天已出现严重危机。不幸的是，数学的专业教育工作者对此应该分负
8、其责。数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然，这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。数学的研究，有过度专门化和抽象化的倾向，忽视了应用以及数学与其它领域之间的联系。这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的。相反，在重视智力训练的人们中，必然引起强烈的反感。 ” “在过去的数年中，大量事实表明，对数学的知识和训练，需要日益迫切。今天，学生和教师如果不试图从数学的形式主义和单纯演算中跳跃出来，以掌握数学的实质，那么挫折和迷惑的危机将显得更为严重。 ”Richard Courant & Herbert Robbins. What is Mathe
9、matics，1978. 中译本：数学是什么，湖南教育出版社，1985. 从今天的情况来看，柯朗的警告是完全正确和有明确的针对性的，应该引起我们的足够重视。问题是什么是数学的实质，我们怎样才能教给学生一个完整的数学，使学生掌握数学的实质？进一步使数学教育真正转化成增强学生社会竞争力的素质。 随着社会生产力的不断发展，出现了现代化科学技术，特别是信息化技术。科学技术与经济基础变了，社会对人才需求的内容、形式当然要发生变化，而这种变化最突出的特点主要表现在两个方面：其一是学科之间知识的相互渗透这种渗透是奠定交叉学科诞生的基础变得越来越重要；其二是要求人们必须具有创造性。 至于学科之间的渗透，从科研
10、角度来看产生于学科自身的需要。从教育角度第 4 页 共 16 页 第 4 页 共 16 页 来看，则必须加强各门课程之间的联系，但是仅从课程建设角度思考问题是很难解决的，也是难以奏效和实施的。我们必须对可能产生关系的相关课程进行更为广泛的研究，找出它们的共同支撑点，这就是我提出建立学科教学平台观点的原因之一。 至于创造性问题是一个更为复杂的系统问题，对于它的探索和研究将更具有实际意义和挑战性。而且我们最终将得出结论：要想使学生在学校的学习过程中在创造性方面得到培养，仅凭课程建设是绝对做不到的，必须通过建立恰当的教育平台才能做到。 按照当代心理学家的观点，一个人的创造力由两个主要的因素决定：知识
11、量与发散思维能力，即 创造力 = 知识量发散思维能力 一个人的发散思维能力的培养同样是一个复杂的系统问题，没有固定的模式，但有一点是可以肯定的，这类能力不可能只通过读书获得，也就是说这类能力不是通过单纯知识的“传道、授业、解惑” ，或者仅凭“技巧训练”的教育模式所能培养出来的。发散思维能力只能通过科学实践与社会实践来培养。 知识大体分为两类，一类称为逻辑性知识(Logical Knowledge)，这类知识的一个显著特点就是其背后有着强大理论域的支持，其具体表现为，如果要判定一个命题是否正确，只需运用相应的理论加以证明就可以了。这一特点数学表现得尤为突出，但绝不是数学科学所独有的特点。比如：物
12、理学中讲授自由落体，是通过已有的知识来证明的，即便现代科学技术已经使我们具备了足够精密的仪器对自由落体问题监测，也不会有哪一位老师仅凭实验的方法使学生相信和理解自由落体的结论。再比如：由法国天文学家 C.Delaunay 于 1867 年公布的月球轨道作为时间的函数的公式，也是通过已有定理和结论进行推理与计算得到的，这一问题的解决为日后人造地球卫星的发射及航天技术奠定了基础。值得我们注意的是，在传统教学中无论哪一门课程，向学生所传授的全部是逻辑性知识。传授逻辑性知识，教师将不会受到严峻的挑战，他们的勇气和信心即不会受挫，也不会被激励增强。 第 5 页 共 16 页 第 5 页 共 16 页 另
13、一类称为启发性知识(Heuristic Knowledge)，启发性知识通常是通过某一专门化知识系统（某一行业，某一专门化技术，某一学科或学科中的某一问题）予以体现的，这类知识不具备强大理论域的支持，没有正确性的保证，属于一种“经验性”的知识，这类知识不容易表述清楚，甚至于“只能意会，不能言传” 。这类知识相对逻辑性知识来讲具有其独特的不稳定性，一旦遇到新情况、新问题，就需要专家及时修正自己已有的知识，并归纳出新知识以解决所遇到的新问题，这种往复更替的过程永无休止，而且就知识系统来讲也是因人而异。因此，这类知识不会写入教材或其它专业书籍中，为“专家”所独有的知识。然而，这类知识在一定的条件下，
14、却可以有效地化简问题、快速求解问题，以至最终解决问题。启发性知识是构成人与人之间能力差别的主因，也就是说，启发性知识是衡量一个人的综合素质不可或缺的指标。 但是，在传统的教学中启发性知识的训练与培养属于“被遗忘的角落” ，教育工作者只注重学科理论体系自身及其严密性与完备性，而忽视了相应理论的发现过程，忽视了学科之间那种意想不到的联系，这种联系不仅包括数学与应用科学之间的联系，而且包括数学各分支之间的联系，没有一个学生会想到利用线性代数的方法求解微积分的问题。这种遗忘并非有意或无意的遗忘，是科学技术发展过程中的一段历史时期很难避免出现的遗忘，由于技术更新速度相对缓慢，绝大多数人在社会工作中所从事
15、的主要是一些简单的体力劳动或重复性的脑力劳动，至于创造性的劳动仅仅是少数“智者”的事情。然而，当技术更新速度加快之后，情况就完全不同了，创新的任务几乎落到了每一个人的身上，被遗忘的角落开始被人们发现、开发、研究、利用。启发性知识越来越受到人们的重视，科学工作者越来越重视对科学发展史的研究，大批既非教科书又非学术专著的科普性著作问世了，而从事这些科普撰写的人大多都是世界顶尖级的科学家。这些科普著作大开人们的眼界，人们的思维变得活跃起来。 当学生在接受高等教育的时候，尽可能多地获得启发性知识显然是必要的，要想获得这类知识通常需要在高素质教师具有创造性能力的教师的引导下，由学生亲自参与相应的工作获得
16、。启发性知识的获得对于培养学生的发散思维能力至关重要。 第 6 页 共 16 页 第 6 页 共 16 页 数学不仅有强大的理论域的支持，而且它的任何一个分支的概念事实上形成了一条“良序可扩张链” ，这一点即奠定了数学科学的严密性、逻辑性、精确性与完备性，数学在科学技术领域的中心地位，同时也为数学以至各个分支的封闭性形成了天然的条件。而且这种封闭性通常不为数学教育工作者察觉，特别是自柯西实施数学严格化之后，这种状况就变得尤为突出。 著名数学家、哲学家罗素是这样定义数学的： “纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推断出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么，。只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。 ”B. Russell: Recent Work on
