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1、动能和势能动能和势能知识点精解知识点精解1动能的概念物体由于运动而具有的能叫做动能，用 Ek 表示。2动能的量度公式(1)物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积。(3)从上式可知动能为标量，单位由 m、v 决定为焦耳。因为 1千克米 2/秒 2=1千克米/ 秒 2米=1 牛米=1 焦。(4)物体的动能具有相对性，相对不同参考系物体动能不同，因而在同一问题中应选择同一参考 系。一般物体速度都是对地球的。(5)动能的变化量又叫动能增量，指的是未动能与初动能之差。Ek=少。(6)物体的动能与动量均与物体的质量和速度有关系，但表示的意义不同。动量表示运动效果， 动能表示运动能量。且动量为矢量，动能
2、为标量。它们之间的数值关系为 P2=2mEk。3动能定理(1)动能定理内容外力对物体做功的代数和(或合外力对物体做的功)，等于物体动能的增量。这就是动能定理。动能定理也可以说成：外力对物体做功，等于物体动能的增量；物体克服外力做功，等于物体 动能的减少。(2)动能定理的表达式(3)关于动能定理的理解动能定理的计算为标量式，不能分方向，v 为相对同一参考系的速度。动能定理的研究对象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系。若相互作用的物体系统 由几个物体组成，则应按隔离法逐一对物体列动能定理方程。以上两式(1)式用的较少。(1)式中要求求出 F 合，则应用矢量合成较复杂，力 F 都应为恒力 方可
3、求合力，且物体在整个过程中物体受力保持不变。(2)式所要求的是物体所受各力做功的代数和， 其中对力没做任何要求，力可以是各种性质的力(包括重力和弹力)，既可以是变力也可以是恒力； 既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出在作用过程中各力做功的多少正负即可。这也正是动 能定理的优越性所在。功和动能均为标量，但功有正负之分，在求未知功时，一般认为是正值。若求得为正值，说 明该力做正功，负值则为物体克服该力做功。应用动能定理时应注意动能定理的形式。即等式一边为 W 合，另一边为 Ek。若将功与动能 写在一边就可能成为其他规律的形式。如功能原理，能量守恒等。若物体运动过程中包含几个不同过程，应用动能定
4、理时；可以分段考虑，这样对初学者较易 掌握，也可以看全过程为一整体来处理。4势能的概念由于物体之间相对位置所决定的能叫势能。由物体与地球相对位置所决定的能叫重力势能。势 能都是物体系统所共同具有。物体的重力势能为物体和地球共同具有，习惯上说成某物体的势能。5重力势能的量度公式(1)用 EP 表示势能，物体质量为 m，高度为 h，则重力势能为：EP=mgh(2)重力势能为标量，单位为焦耳。(3)重力势能具有相对性。重力势能的大小与零势点的选取有关，选择不同零势点，物体势能不 同。原则上设零势点的选取是任意的，一般题中选题中最低点为零势能点。但人们往往关心的是势 能的变化而不是势能本身。(4)由于
5、零势点的选取，势能有正负之分。若物体在零势面以上 h 米处，其重力势能为 EP=mgh； 若物体在零势能以下 h 米处时，其重力势能为 EP=-mgh。势能的正负表明势能的大小。(5)重力做功，物体重力势能减少，物体重力做多少功，重力势能就减少多少。物体克服重力做 功，物体重力势能就增加，克服重力做多少功，物体重力势能就增加多少。6弹性势能的初步概念(1)由于物体发生弹性形变而具有的能叫弹性势能。(2)弹性势能是物体和弹簧所组成的系统的势能，而不是某个物体的。弹簧的形变量。【例例 1】1】 有两个物体 a 和 b，其质量分别为 ma 和 mb，且 mamb，它们的初动能相同，若 a 和 b 分
6、别受到不变的阻力 Fa 和 Fb 的作用，经过相同时间停下来，它们的位移分别是 Sa 和 Sb，则：AFaFb，SaSb；BFaFb，SaSb；CFaFb，SaSb；DFaFb，SaSb。【分析思路】 物体 a 和 b 的初动能相同，而质量不同，所以它们的初速度不同 (mamb，vavb)，最终两物体同时停下来。在相同时间零。也可以从另一角度理解。力 F 在相同时间内使物体动量变为零，即力的冲量使物体动量变为零。 由此可以确定力的关系。这段时间内力 F 做功使物体动能变为零。可以确定位移。解法一：相同，找出 S 的大小；根据动能定理列方程求 F。mambvavbFaFb解法二：关系，由动量定理
7、确定 F，再由动能定理求 S。2mEkmamb FaFb由动能定理：FS=EkFaFb SaSb所以本题应选择 A。【例例 2】2】 如图 6-14 所示，某人站在距水面高为 h 的台子上，用绕过定滑轮的绳子将质量为 m 的船从静止开始由 A 处拉至 B 处。此过程中绳与水平方向的夹角由 变为 ，船受到水的平均阻 力为 f，船到达 B 处时人收绳子的速度为 v。求人对船所做的功？(滑轮和船的大小，绳子质量均不 计)。【分析思路】 人拉绳时，绳上各点速度均相同，绳为倾斜运动而船的运动都是水平方向的， 两者的速度满足矢量关系。船的速度与收绳速度是合速度与分速度的关系。当船由静止从 A 点运动 到
8、B 时，外力除要增加物体的动能还要克服水给船的阻力做功。即外力与阻力做功之和为物体动能 增量。【解题方法】 由运动的分解求绳和船的速度关系。利用几何关系及阻力做功特点求阻力做 功再应用动能定理求外力做功。【解题】 当船到达 B 点时，由速度矢量关系知 vt=v/cos。由几何关系，船从 A 到 B 船运动的位移为：SAB=h(ctg-ctg)由动能定理：【例例 3】3】 质量 M=500 吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间 t=5 分钟在水平路面上 行驶 S=2.25 千米。速度达到最大值 vm，vm=54 千米/小时，则机车的功率为_瓦，机车运动中受 平均阻力为_牛顿。【分析思路】
9、机车的以恒定功率运动，牵引力、速度都在随时间变化，即使认为阻力不变， 机车的运动也是变加速的。所以一定不能用牛顿定律结合运动学求解。这点往往是学生易犯的错误。 题目说明功率是不变的，一定时间内机车的功是一定的，机车运行过程中除牵引力做功之外还有阻 力做功，而阻力恰为速度达最大值时的牵引力，本题可以用动能定理求解。【解题方法】 由机车的运动可知，当机车达到最大速度时牵引力与阻力相等，即此时功率 为阻力和最大速度的乘积，由动能定理对整个过程列方程。【解题】 设机车的功率为 P，平均阻为为 f。当机车达最大速度 vm 时有：由动能定理得： f=P/vm=3.75105/15=2.5104(牛)【例例
10、 4】4】 质量 2.0 千克的物体在竖直平面内、半径为 1.0 米的米。然后滑上同样的圆弧轨道 CD。已知圆弧轨道无摩擦，物体与水平轨道 BC 间动摩擦因数为 0.20。如图 6-15 所示。求：(1)物体在 CD 轨道上能上升的最大高度；(2)物体最后停在什么位置？【分析思路】 物体由 A 点静止下滑，由于弧面光滑，所以下滑过程中只有重力做功，重力 做的功只与始末位置有关，做功的多少等于重力势能的减少量，物体在 BC 段，由摩擦力做功的特点 (与路经有关)，物体要克服摩擦力做功。且不论摩擦力的方向如何，物体总要克服摩擦力做功。物 体最后冲上 CD 部分，克服重力做功。物体冲上 CD 后运动
11、并未能停止，从 CD 部分下滑后再次经过 BC 部分，若能量足够，物体可能再次上到 AB 部分。若动能不够就停在 BC 的某一位置。但不论能否 冲上 AB 部分，最后一定要停下来，运动次数的多少，最后停下来的原因都是 BC 段有摩擦的结果。 虽然物体的运动是分段的，但可以把各过程当成一个整体来对待，即整体应用动能定理。【解题方法】 由重力做功及摩擦力做功的特点(重力做功只讨论高度差，而摩擦力做功的 S 为路程)，求各力做的功，再由动能定理求在 BC 段的路经，从而确定停止的位置。【解题】 (1)设物体在 CD 段上升的最大高度为 h，对物体由 A 到 CD 段的最高点整体列动能 定理：mgR-
12、mgSBC-mgh=0 h=R-SBC=1-0.22.0=0.6(米)(2)当物体停在水平面上时，设 BC 段的总路程为 S，则有：mgR-mgS=0S=R/=1/0.2=5(米)当 S 为 2.0 米的整数倍时，物体应停在 B 或 C 点，若 S 不是 2.0 米的整数倍，则物体停在任意 位置。 S=22.0+1(米) 物体停在距 B 点 1 米处。【例例 5】5】 如图 6-16 所示，质量为 m 的物体放在倾角为 ，长为 l 的斜面底端，物体和斜面 间的动摩擦因数 =tg。(1)要将物体沿斜面拉到顶端，至少要用多大的力？力的方向如何？(2)要将物体沿斜面底端拉到顶端，这时拉力至少要做多少
13、功？拉力的大小和方向如何？(3)若改用图 6-17 所示装置来拉此物体，要使作用于绳子 A 端的拉力做功最少，拉力的大小和 方向应如何(不计滑轮和绳的质量，不计滑轮轴的摩擦)？【分析思路】 物体能沿斜面上滑的力至少要克服重力的分力及摩擦力，即物体沿斜面匀速 上升时，作用在物体上的力最小。要使物体沿斜面上升到最高点做功最小，则应使物体到达最高点 时速度为零，而此时的力 F 不一定是上述中的最小力。若改用图 6-17 来拉物体，这时作用于物体上 的力相当于沿斜面和与斜面成 夹角的两个力共同作用。这样的力做功要最小，一是使物体运动过 程中动能不增加，同时又尽可能少的克服摩擦力做功。即只克服重力做功。
14、这种情形兼顾了上述(1) (2)两种情形下的力的特点。【解题方法】 使物体运动的最小力的条件是合外力为零，物体做匀速直线运动。外力做功 最小时的条件是物体动能增量为零。【解题】 (1)设拉力为 F，其最小值必定出现在物体作匀速运动时，设力 F 与斜面成 角， 物体受力情况如图 6-18 所示，由平衡条件：由(1)(2)(3)联立得：当 = 时，力 F 有最小值 Fmin=mgsin2。(2)设将物体从底端沿斜面拉到顶端的过程中，拉力做功为 WF，克服摩擦力做的功为 Wf 由动能 定理得：WFmglsin+Wf当 Wf=0 时，WF 有最小值 Wmin=mglsin此时 N=0，f=0，由(1)
15、(2)两式得：Fcos=mgsinFsin=mgcos F=mg 可见拉力竖直向上，大小为 mg。(3)在图 6-17 中，设拉力 F 与斜面的夹角为 ，要使拉力做功最少，应实现以下两点：滑动摩擦力为零，这就要求 N=0，故有 Fsin=mgcos物体做匀速运动，所以 F+Fcos=mgsin由以上二式得：所以，=-2，F=mg/2sin。【例例 6】6】 如图 6-19 所示，装有光滑圆弧形轨道的小车静止在光滑水平面上，它的总质 量为 M。有一质量为 m 的球以水平速度 v 沿轨道的水平部分滑上轨道。求：(1)球沿弧形轨道上升的最大高度。(2)在上述过程中轨道的弹力对球所做的功。【分析思路】
16、 球 m 从水平面进入光滑弧形轨道后，由于轨道与球之间的相互作用，球对地 的速度越来越小，而车的速度越来越大，当球在水平方向速度大于车的速度(只有水平方向的分速度)之 前，球车之间存在着相对运动，即球沿曲面上升，当达到最高点时两者在水平方向的速度相同，且球在竖直方向速度变为零，整个作用过程中，只有相互作用的内力，系统所受的水平方向合外力为 零，水平方向系统满足动量守恒。【解题思路】 (1)球和车组成的系统在在水平方向满足动量守恒，达到最大高度的小球与车 具有共同的速度。在球上升过程中合外力做的功满足动能定理。【解题】 (1)以向左方向作为正方向。球和小车组成的系统水平方向动量守恒。设球上升到 最高点时球和车的共同速度为 v1。对球和小车系统列动能定理方程：由(1)
