函数的极限(二)

1函数的极限（二）函数的极限（二）一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念如同时的函数极限有和两种情况一样，函数在的趋x  x  x  ( )f x0xx向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从的右侧（）或左侧（）0x0xx0xx无限趋向的过程中，函数的变化趋势例如考虑，显然此时只能0x( )f x 0lim xx 0x如果是从的右侧无限趋向于，对应的函数值无限趋于常数，则称是x0x0x( )f xAA时函数的右极限严格的描述这个极限过程的“”语言是：（即数学定义）0xx( )f x设函数在的右侧区间内有定义，对于任意给定的，总存在正数，使( )f x0x0(, )x b0得当在时，恒有下列不等式成立x00xx，|( )|f xA则称是时函数的右极限，记作A0xx( )f x0lim( ) xxf xA 同样，如果是从的左侧无限趋向于，对应的函数值无限趋于常数，则称x0x0x( )f xA是时函数的左极限， “”定义是：A0xx( )f x设函数在的左侧区间内有定义，对于任意给定的，总存在正数，使( )f x0x0( ,)a x0得当在时，恒有下列不等式成立x00xx，|( )|f xA则称是时函数的左极限，记作。

A0xx( )f x0lim( ) xxf xA 例 1.1 用定义证明： 21lim 10 xx 证：对于任给，欲使 ，即等于022|( )0| | 10|1f xxx2211x成立就可以了但本题，故对于任给（取） ，取，当1x0121或 2011x 2111x时，恒有 这就证明了 )|f x21lim 10 xx 从例 1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件或00xx00xx例 1.2 教科书上第 49 页的例 9 还是值得仔细琢磨的它研究的是取整函数在端点处的左、0xn右极限请看书上第 10 页的图 1-10这个分段函数的解析式为， 1,[1, )( )[ ],[ ,1)nxnnf xxnxn n0, 1, 2,n   L它的特点是：在的左侧区间内为常数，右侧区间内则为常数( )f x0xn[1, )nn1n[ ,1)n n2。

注意这两个区间都是半闭半开的函数在处的函数值为 ，但是n0xn( )f nn，lim( )lim[ ]lim(1)1 xnxnxnf xxnn lim( )lim[ ]lim xnxnxnf xxnn 可见，此函数在整数点处的左、右极限不相等当函数在处的左、右极限不相等时，我们不能说在的趋向下存在极限 )f x0x( )f x0xx换言之，只有在处的左、右极限相等时，才能说请看下列定理所描述( )f x0x0lim( ) xxf xA 的极限与左、右极限的关系：例 1.3 的充要条件是 0lim( ) xxf xA 00lim( )lim( ) xxxxf xf xA 证：必要性设，则由极限定义，对任给的，存在，使当0lim( ) xxf xA 00时恒有 换言之，当的邻域取为，且00 ||xx|( )|f xAx0xx0xx因为邻域 和邻域 这两种情况是的子区间，所00xx00xx00 ||xx以在这两个邻域中仍然恒有成立故在成立的情况下，必有|( )|f xA0lim( ) xxf xA 。

+ 00lim( )lim( ) xxxxf xf xA 充分性故对任给的，分别有，使当 + 00lim( )lim( ) xxxxf xf xA 01200，和 时，都有 010xx020xx|( )|f xA取，那么在时，自然也成立，即有12min{ ,} 00 ||xx|( )|f xA0lim( ) xxf xA 我之所以要把书上的证明另行重证，是因为有不止一位同学对书上的证明表示疑惑不知上述证明能否消除这些同学的疑惑？例 1.3 讨论极限 02lim xx x解： 因为，图像在处是中断的，在原点的右端，函数趋向于；而在原点22=1x xx0x 的左端，函数趋向于因此，，，它的左右极限不相等 +02lim xx x  02lim xx x 所以不存在 02lim xx x二．二． 极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算，是学习极限的基本功几类容易引起误解的情况，在课堂上已经分析过3了大家做了一些练习，需要自己不断地归纳，小结要学会这个本事自己归纳出来的才属于自己。

我作为老师讲出来的，毕竟是我的体会所以，下面的内容与题目，最好不要当作小说来读，自己想一下或做一遍，再来看我写的这样的好习惯，需要一段时间来养成好吗？例 2.1 下述运算过程是否正确：最后结果等于 0000111lim sinlimlimsin0 limsin0 xxxxxxxxx零是因为 0 乘任何数仍然为 0解：解法不正确在运用两函数乘积的极限时，要求每一个函数的极限都存在，否则不能套用，这里极限不存在 01limsin xx正确的方法是：因为对任何不等于 0 的，都有，因此在定义域（实数集）上，x1|sin| 1x是一个有界函数；又，是一个无穷小量根据有界函数与无穷小的乘积仍然为无1sinx0lim =0 xx 穷小量的结论，有 01lim sin0 xxx从表面上看，两种方法的结果一样，但解题的指导思想完全不同所以我们不要仅仅看答案是多少例 2.2 若函数的极限存在，而函数的极限不存在，问的极限( )f x( )g x( )( ),( ) ( )f xg xf x g x是否都存在？解：的极限肯定不存在理由如下：( )( )f xg x假若的极限存在，记，则的极限存在。

)( )f xg x( )( )( )f xg xu x( )u x根据，则等式两边出现矛盾的情况：右边是两个有极限的函数之差，所( )( )( )g xu xf x以这个差函数仍然有极限而等式的左边则是一个没有极限的函数这是矛盾的所以假设不能成立，从而的极限不存在 )( )f xg x大家看，反证法看似简单，缺常能解决大问题希望大家逐步学会这个方法其实，反证法不仅在数学里用，在社会生活里也能用得上再看第二问的极限较为复杂，不能一概而论例如，在时，( ) ( )f x g x0x ，前者极限不存在，而后者有极限但的极限为1( )sin,( )f xg xxx1( ) ( )sinf x g xxx0但不要立即下结论，说极限存在因为的极限不存在的情况也很多数学上说一个命( ) ( )f x g x题成立，必须任何情况下都成立才行；说一个陈述不成立，只需一个反例就可以否决请大家举 1-2 个例子好吗？例 2.3 若函数和的极限均不存在，问问的极限是否都存在？( )f x( )g x( )( ),( ) ( )f xg xf x g x解：不能一概而论4极限存在的例子：。

可以证明，这两个函数在时极限都不存在 ),( )xxf xg xxx 0x 但 ，所以极限存在再看它们的积, ，极限也存在 )( )0, (0)f xg xx( ) ( )1f x g x  极限不存在的例子有很多，留给大家自己找出了求多项式的极限是最容易的，只需求出它在时的函数值只是要提醒大家，不要把函0xx数值与极限的概念混淆起来同样，求有理分式函数在时的极限也不太难，只要就可以这里要( ) ( )P x Q x0xx0()0Q x用的公式在课堂上已经仔细推导过了，在此简略了不过，我们常要遇到或这样的情况，这时，就不能套极限运算公式了，需要做些变化 0 0，或变换，改变或的格式，使极限运算公式能运用 0 0例 2.4 求 3 23 2341lim 322xxxxx解：这是型极限注意到分子与分母中的最高次是，用去分别除分子和分母，得 x3 23 2x原式，13 2213 22413lim322xxxxx 这样，在时，分子趋向 3，分母则趋向于—2，最后得原式x  3 2由本例可以归纳出，求两个多项式的商在时的极限，当出现的情况时，用分子和x   分母中的最高次项去除分子和分母，使多项式的每一项不是常数就是无穷小量，从而可以运用x极限运算法则。

若分母极限为 0，则先算其倒数的极限例如下例例 2.5 ，2221111limlim155xxxxxx x xx这样分母的极限为 0但我们可以计算其倒数22215 5limlim=01111xxxxx xx xx根据无穷大与无穷小的关系，得521lim5xxx x 当遇到型的极限，也不能直接运用极限运算法则，需要作些变换0 0例 2.6 求 22232lim252xxx xx 解：当时，分子分母的极限均为 0所以属于型极限问题，不能直接运用极限运算法则2x 0 0注意到时的分子和分母的函数值都为 0，这表明，2 是它们的零点，或者说 2 都是分2x 子、分母的根，所以它们都含有的因子所以将分子，分母进行因式分解：(2)x，2222232(1)(2)1limlimlim252(21)(2)21xxxxxxxx xxxxx因为在极限过程中非零，上下可以消去这个非零因子消去后就是上式的最后一步，没(2)x有疑问了，可立马运用极限运算法则了，分子、分母同时求极限，得到极限值为1 3例 2.7 求， 为自然数）121(1)lim(1)nxxnxn x (n解：这是一个的极限，不能直接运用极限运算法则。

运用分子，分母的函数值均为 0，表明都0 0存在的因子分子较复杂，先做因式分解1x1(1)(1)(1)nnxnxnx xn x，1212(1)(1)(1)(1)(1)nnnnx xxxxn xxx xxxnLL到了这里，因为分母中是，现在分子中只分出一个，所以还不够，还继续分！2(1)x(1)x1212(1)nnnnx xxxnxxxxnLL12(1)(1)(1)(1nnxxxxL）122(1) (1)(1)(1) 1nnnxxxxxxxLLL123(1)(23(1))nnnxxxxnxnL终于又分出第二个的因子，于是可与分母的消掉，这样(1)x2(1)x原式1231lim(23(1))nnnxxxxnxnL1)1232n nn  L是否可以归纳一下当分子，分母都是多项式，且时，若它们的极限都为 0，则遇到0xx6了型极限，对它不能直接运用极限运算法则，而需要提取的公因子，消去后就好用运0 00()xx算法则。

型极限还出现在有根式的问题中这里用的方法是通过有理化去根号0 0例 2.8 求3813lim2xx x 解：这是一个带根号的型极限分子、分母同时“有理化”：0 0原式32233。