考研数学历年真题详解线性代数

第一章第一章 行列式行列式1． （95，九题，6 分）设 A 是 n 阶矩阵，满足（E 是 n 阶单位阵，是 A 的转置TAAETA 矩阵，|A|n 时，必有行列式|. （B）当 m>n 时，必有行列式|.|| 0AB || 0AB （C）当 n>m 时，必有行列式|. （D）当 n>m 时，必有行列式|.|| 0AB || 0AB 【 】 【答】应选（B）【分析】四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条 件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断 AB 是否满秩即可本题 未知 AB 的具体元素，因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解详解】因为 AB 为 m 阶方阵，且()min[ ( ), ( )]min( , )r ABr A r Bm n当 m>n 时，由上式可知，，即 AB 不是满秩的，故有行列式|AB|=0,因此正确()r ABnm选项为（B）4． （04，填（5）题，4 分）设矩阵，矩阵 B 满足，其中2 1 0 1 2 0 0 0 1A  **2ABABAE为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|= *A1 9【分析】可先用公式进行简化*||A AA E【详解】已知等式两边同时右乘 A，得，而|A|=3,于是有**2ABA ABA AA 3AB＝6B＋A，即(3A－6E)B=A，再两边取行列式有：|3A-6E||B|=|A|=3，而|3A-6E|=27,故所求行列式为|B|=1 95． （05，填（5）题，4 分）设均为 3 维列向量，记矩阵123,,  A=()，B＝()123,,  123123123,24,39  如果|A|=1，那么|B|=2【分析】将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。

【详解】对矩阵 B 用分块技巧，有1231 1 1 () 1 2 3 1 4 9B   两边取行列式，并用行列式乘法公式，得1 1 1 1 2 32 1 4 9BAA所以|B|=2.6． （06， （5）题，4 分）设矩阵，E 为单位矩阵，矩阵 B 满足 BA＝B＋2E，则211 2A|B|=【分析】本题为计算方阵行列式，应利用矩阵运算与行列式的关系来求解【详解】由 BA＝B＋2E 得BA-B=2EB(A-E)=2E|B(A-E)|=|2E||B||A-E|=4|B|=4|A-E|-1=11144 281 1 第二章第二章 矩矩 阵阵一、矩阵运算一、矩阵运算1． （97，填（4）题，3 分）设，B 为三阶非零矩阵，且 AB＝0，则 t＝122 43 311At  3【分析】由 AB＝0 也可推知 r(A)+r(B)3，而 r(B)>0于是 r(A)2,故有|A|=0t=-3. 【详解】由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB=0,可见线性方程组 Ax＝0 存在非零解，故122 4303 311Att    二、伴随矩阵二、伴随矩阵1． （05，12 题，4 分）设 A 为 n()阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵2n B，，分别为 A，B 的伴随矩阵，则*A*B（A）交换的第 1 列与第 2 列得*A*B（B）交换的第 1 行与第 2 行得*A*B（C）交换的第 1 列与第 2 列得*A*B（D）交换的第 1 行与第 2 行得*A*B【 】 【答】应选（C） 【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系 以及伴随矩阵的性质尽心分析即可 【详解】为书写简捷，不妨考查 A 为 3 阶矩阵，因为 A 作初等行变换得到 B，所以用初等矩 阵左乘 A 得到 B，按已知有0 1 0 1 0 0 0 0 1AB  于是11110 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1BAA  从而**0 1 0 1 0 0||||0 0 1BA BA  又因|A|=-|B|，故，所以应选（C）**0 1 0 1 0 0 0 0 1AB   三、可逆矩阵三、可逆矩阵1． （96，八题，6 分）设，其中 E 是 n 阶单位矩阵，是 n 维非零列向量，TAE是的转置，证明：T（1）的充要条件是2AA1T（2）当时，A 是不可逆矩阵1T【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。

题中是 n 维列向量，则是 n 阶矩阵且T秩为 1而是一个数T 【详解】（1）2()(2)2()(2)TTTTTTTAEEEE     因此2(2)(1)0TTTTTAAEE   因为，所以故的充要条件为00T2AA1T （2）方法一：当时，由，有，1T TAE0TA 因为故有非零解，因此|A|=0,说明 A 不可逆00Ax 方法二：当，由，即 E－A 的每一列均为的解，1T 2()0AAA EA0Ax 因为说明有非零解，故秩(A)s 时，向量组Ⅱ必线性相关（C）当 rs 时，向量组Ⅰ必线性相关【 】 【答】应选（D）【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组Ⅰ:可由12,,,r L向量组Ⅱ:线性表示，则当 r>s 时，向量组Ⅰ必线性相关，或其逆否命题：若向12,,,s L量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有12,,,r L12,,,s L，可见正确选项为（D） 。

本题也可通过举反例用排除法找到答案rs 【详解】用排除法：如，则，但线性无关，排除（A） ；112010,,001         11200 12, ，则可由线性表示，但线性无关，排除（B） ；121011,,000         12, 11，则可由线性表示，但线性无关，排除（C）112010,,001         112, 1故正确选项为（D）5． （04，选（12）题，4 分）设 A，B 为满足 AB＝0 的任意两个非零矩阵，则必有：（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 （C）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （D）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关【 】 【答】应选（A） 【分析】A，B 的行或列向量组是否线性相关，可从 A，B 是否行（或列）满秩或 Ax＝0（Bx＝0）是否有非零解进行分析讨论 【详解 1】设 A 为 m×n 矩阵，B 为 n×s 矩阵，则由 AB＝0 知，r(A)+r(B)0,r(B)>0.可见 r(A)

同理，由 AB＝0 知，，于是有的列向量组线性相关，从而 B 的行向量组线性0TTB A TB相关，故应选（A）6． （05，选 11 题，4 分）设是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12, ，则线性无关的充分必要条件是12, 112, ()A（A） （B） （C） （D）10201020【 】 【答】应选（B） 【分析】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念，讨论一组抽象向 量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可【详解】按特征值特征向量定义，有12121122()AAA 线性无关恒为 0112, ()A1121212()0,,kk Ak k恒为 0112122212()0,,kkkk k由于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关12, 于是恒为 0112 12 220,,0kkk kk 而齐次方程组只有零解112220,0kkk 1 2 21000所以应选（B）7． （06， （11）题，4 分）设均为 n 维列向量，A 是 m×n 矩阵，下列选项正确12,,,s L的是（A）若线性相关，则线性相关12,,,s L12,,,sAAAL（B）若线性相关，则线性无关12,,,s L12,,,sAAAL（C）若线性无关，则线性相关12,,,s L12,,,sAAAL（D）若线性无关，则线性无关12,,,s L12,,,sAAAL【 】 【分析】本题为判别向量组的线性相关性，可利用线性相关性的定义和矩阵的秩与向量线性 相关的关系来求解【详解 1】因为若线性相关，则存在不全为 0 的 s 个数，使12,,,s L12,,,sk kkL11220sskkkL用 A 左乘上式两端，得1122()0ssA kkkAL11220ssk Ak Ak AL因不全为零，故线性相关，所以，正确选项为（A）12,,,sk kkL12,,,sAAAL【详解 2】设矩阵1212[,,,],[,,,]ssBCAAA LL则 1212[,,,][,,,]ssCAAAAAB LL于是 ( )()( )r Cr ABr B若线性相关,则,由此得。

此时,C 的列向量12,,,s L( )r Bs( )r Cs线性相关，所以，正确选项为（A）12,,,sAAAL【详解 3】因矩阵 A 可任意取，故当 A＝0 时，可得选项（B） ， （D）是错误的，而当 s=n 时， 取 A＝E，可得选项（D）也是错误的，所以正确选项只能是（A） 二、向量组的秩与向量空间二、向量组的秩与向量空间 1． （97，七（1）题，5 分）设 B 是秩为 2 的 5×4 矩阵，，是齐次线性方程组 Bx＝0 的解向量,12(1,1,2,3) ,( 1,1,4, 1)TT 3(5, 1, 8,9)T 求 Bx＝0 的解空间的一个标准正交基 【分析】要求 Bx＝0 的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应线 性无关的解，由题设知解空间的维数，即 Bx＝0 的线性无关解的个数等于 B 的列数减 r(B)，显然等于 2，而三个解向量两两均是线性无关的，选取任意的两个进行施密特正交123,,  化均能得到一个标准的正交基，解不是唯一的【详解】因秩 r(B)=2，故解空间的维数为：4－r(B)=4-2=2又线性无关，可见是解空间的基12, 12, 先将其正交化：令21 11221 114 3111 2111(,)1,3242(,)310 3133 2              再将其单位化：令12 12 1211 1111,25||||3915 33         。