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1、20122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）221xxyx（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案答案】：C【解析解析】：，所以为垂直的221lim1xxx x 1x ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选22lim11xxx x1y C（2）设函数，
2、其中为正整数，则2( )(1)(2)()xxnxf xeeenLn(0)f（A）1( 1)(1)!nn（B）( 1) (1)!nn（C）1( 1)!nn（D）( 1)!nn【答案答案】：C 【解析解析】：222( )(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxe eeneeeneenenLLLL所以(0)f1( 1)!nn（3）如果在处连续，那么下列命题正确的是（ ）( , )f x y0,0（A）若极限存在，则在处可微 0 0( , )lim x yf x y xy ( , )f x y(0,0)（B）若极限存在，则在处可微220 0( , )lim x yf x
3、 y xy ( , )f x y(0,0)（C）若在处可微，则极限存在( , )f x y(0,0) 0 0( , )lim x yf x y xy （D）若在处可微，则极限存在( , )f x y(0,0)220 0( , )lim x yf x y xy 【答案答案】：【解析解析】：由于：由于在处连续，可知如果存在，则必有( , )f x y0,0220 0( , )lim x yf x y xy 0 0(0,0)lim( , )0 x yff x y 这样，就可以写成，也即极限存在，可知220 0( , )lim x yf x y xy 220 0(,)(0,0)lim x yfxyf
4、xy 220 0(,)(0,0)lim x yfxyf xy ，也即。由可微的定义 220 0(,)(0,0)lim0 x yfxyfxy 22(,)(0,0)00fxyfxyoxy 可知在处可微。( , )f x y(0,0)（4）设sinxdx(k=1,2,3),则有 D2kx keIe（A）I1 I2 I3.(B) I2 I2 I3.(C) I1 I3 I1,(D) I1 I2 I3.【答案答案】：(D)【解析解析】：看为以为自变量的函数，则可知2sinkx keIexdxk，即可知关于在上为单调2sin0,0,k kIekk2sinkx keIexdxk0,增函数，又由于，则，故选 D
5、1,2,30,123III（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相123412340011 0 ,1 ,1 ,1 cccc 1234,c c c c关的是（ ）（A） （B）123, 124, （C） （D）134, 234, 【答案答案】：（C）【解析解析】：由于，可知线性相关。故选（C）134113401111,011011c ccc 134, （6）设为 3 阶矩阵，为 3 阶可逆矩阵，且，AP11 1 2P AP 123,P 则（ ）1223,Q 1Q AQ（A） （B）1 2 1 1 1 2 （C） （D）2 1 2 2 2 1 【答案答案】：（B）【解析解析】：，则，100 11
6、0 001QP 11100 110 001QP 故1110010010011001 11011011011101 00100100120012Q AQP AP 故选（B） 。（7）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则（） yxp1124( ) ( ) ( ) ()5355ABCD【答案答案】：（A）【解析解析】：的联合概率密度为,X Y4,0,0( , )xyexyf x y 0，其它则450001( , )5yxyyx yP XYf x y dxdydxedxedy （8）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(2
7、1)(21)(1)(DCBA【答案答案】：()D【解析解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所, x y1,xy1yx 以相关系数为-1二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数满足方程及，则=_。)(xf0)(2)()( xfxfxfxexfxf2)()()(xf【答案答案】：xe【解析解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程022 rr2, 121rr的通解为.再由得( )( )2 ( )0fxfxf xxxeCeCxf2 21)( )( )2
8、xfxf xe，可知。2 1222xxxC eC ee121,0CC故( )xf xe（10） _。2202xxx dx【答案答案】：2【解析解析】：令得1tx2112220112(1) 112xxx dxtt dtt dt（11） _。(2,1,1)gradzxyy【答案答案】：1,1,1【解析解析】：2(2,1,1)(2,1,1)1grad,1,1,1zzxyy xyyy（12）设则_。,0, 0, 0, 1,zyxzyxzyx dsy2【答案答案】：3 12【解析解析】：由曲面积分的计算公式可知：由曲面积分的计算公式可知，其中222221 ( 1)( 1)3DDy dsydxdyy dx
9、dy 。故原式( , )|0,0,1Dx yxyxy11122000333(1)12ydyy dxyy dy（13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_。TxxE 【答案答案】：2【解析解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对Txx0,0,1TExx1,1,0角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。2Tr Exx（14）设是随机事件，互不相容，,则_。, ,A B C,A C1()2P AB 1( )3P C ()P ABC 【答案答案】：3 4【解析解析】：由条件概率的定义， P ABCP AB CP C其中， 121133P CP C
10、 ，由于互不相容，即，又1 2P ABCP ABP ABCP ABC,A CAC0P AC ，得，代入得，故.ABCAC0P ABC 1 2P ABC 3 4P AB C 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. （15） （本题满分 10 分）证明：21lncos1, 1112xxxxxx 【解析解析】：令，可得 21lncos112xxf xxxx 2222112lnsin11112lnsin11 11lnsin11xxfxxxx
11、xxxxxxxxx xxxxxx gg当时，有，所以，01x1ln01x x22111x x221sin01xxxxg故，而，即得 0fx 00f21lncos1012xxxxx 所以。21lncos112xxxxx当，有，所以，10x 1ln01x x22111x x221sin01xxxxg故，即得 0fx 21lncos1012xxxxx 可知，21lncos1, 1112xxxxxx （16） （本题满分 10 分）求的极值。22 ,2xyf x yxe【解析解析】：，22 ,2xyf x yxe先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为.,0,0xyfx yexfx yy ,0e又，,01
12、,00,01xxxyyyAfeBfeCfe 所以，故在点处取得极大值.20,0BACA,fx y,0e21,02f ee（17） （本题满分 10 分）求幂级数x2n 的收敛域及和函数0n2443 21nn n 【解析解析】： 22 11443 21 41413 211limlimlimnnnnnnnnn aanRaann n 2221144312141413lim nnnn nnn2 20443( )21nnnnS xxn2 20002 202443( )21443121443 21 1 21limxxnnnnnnnS t dtx dxnnnxxnnn nn Q时发散 2204431121nnnnxn 时收敛2 201,14431( )21nnxnnS xxnx 为函数的收敛域。和函数为（18） （本题满分 10 分）已知曲线，其中函数具有连续导数，且， 20cos)(:ttytfxL)(tf0)0(f。若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数的表达式，并求 200)(ttf)(tf此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积。【解析解析】：
