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1、二项式定理二项式定理 知识点归纳知识点归纳头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 1二项式定理及其特例：（1），01()()nnnrn rrnn nnnnabC aC a bC abC bnNLL（2）奎屯王新敞新疆1(1)1nrrn nnxC xC xx LL2二项展开式的通项公式：奎屯王新敞新疆rrnr nrbaCT 1)210(nr， L3常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎屯王新敞新疆 r 4奎屯王新敞新疆二项式
2、系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除()nabn1,2,31以外的每一个数都等于它肩上两个数的和奎屯王新敞新疆1 5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数()nab0 nC1 nC2 nCn nCr nCr，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）( )f r0,1,2, nL6n 7（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（） 直线是图象的对称轴奎屯王新敞新疆mn m nnCC2nr （2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值奎屯王新敞新疆n2nnCn1 2
3、nnC1 2nnC（3）各二项式系数和：，1(1)1nrrn nnxC xC xx LL令，则 奎屯王新敞新疆1x 0122nrn nnnnnCCCCCLL题型讲解题型讲解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 例例 1 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头x421x解：展开式中前三项的系数分别为 1，由题意得 2=1+，得 n=8头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头
4、 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头设第 r+1 项为有理项，T 2n 8) 1( nn 2n 8) 1( nn=C x，则 r 是 4 的倍数，所以 r=0，4，8头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头，有理项为 T1=x4，T5=x，T9=头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1rr 8r214316r83522561 x 点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定点
5、评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定 r头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头例例 2 求式子（x+2）3的展开式中的常数项头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 |1 x解法一：（x+2）3=（x+2） （x+2） （x+2）得到常数项的情况有：三个括|1 x|1 x|1 x|1 x号中全取2，得（2）3；一个括号取x，一个括号取，一个括号取2，得 C C（2）=12，常数项为|1 x1 31 2（2）3+（
6、12）=20头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解法二：（|x|+2）3=（）6头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头设第 r+1 项为常数项，则 T=C （1）r（|1 x| x |1x1rr 6）r|x|=（1）6C |x|，得 62r=0，r=3头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头T3+1=（1）3C =20头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头
7、 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 |1 xr6r 6r263 6例例 3 求（1+x+x2+x3） （1x）7的展开式中 x4的系数；求（x+4）4的展开式中的常数项；x4求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中 x3的系数头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解：原式=（1x）7=（1x4） （1x）6，展开式中 x4的系数为（1）4C1=14头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头
8、头 头（x+4）4=xx 114 4 6x4=，展开式中的常数项为 C（1）4=1120头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头方法一：原式=442)44( xxx48)2( xx44 821)1 ( 1)1()1 (483 xxx头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头展开式中 x3的系数为 C头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头方法二：原展开式中 x3的系
9、数为 xxx351)1 ()1 (4 51C +C+C +C=C+C+C=C+C +C=C头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3 33 43 53 504 43 43 504 53 53 504 51 点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头例例 4 求展开式中的系数9 2 21xx9x解：令 rr rrr rrr rr rx
10、CxxCxxCT318 9218 992 9121 21 21 221 21C:, 3, 93183 3 99的系数为故则 xrr点评：是展开式中的第项，注意二项式系数与某项系数的区别头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头在本题中，rrnr nbaCnba 1rnrL, 2 , 1 , 0第 4 项的二项式系数是，第 4 项的系数为，二者并不相同头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3 9C9x3 3 921C例例 5 求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数100323 xx解：依题意：，为 3 和 2 的倍数，即 32100 100 100310010012323rr rrrrr rxCxCT Zrr 3,2100r为 6 的倍数，又，构成首项为 0，公差为 6，末项为 96 的等差数列，由1000 rQNr 96, 6 , 0Lr得，故系数为有理数的项共有 17 项头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头
