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1、目目 录录摘 要.1关键词.1Abstract.1Keywords.10 前 言.11 预备知识.11. 1 变量分离方程.21. 2 恰当微分方程.21. 3 积分因子.22 基本方法.22. 1 一般变量分离.32. 2 齐次微分方程.32. 2 .1 齐次微分方程类型一.32. 2. 2 齐次微分方程类型二.42. 3 常数变易法.52.3.1 常数变易法一.52.3.2 常数变易法二.62.4 积分因子求解法.72.5 恰当微分方程求解法.83 基本方法的应用.83. 1 一般变量分离方程应用.83.1.1 应用举例.93.1.2 应用举例.93. 2 齐次微分方程应用.103.2.1
2、 类型一应用举例.103.2.2 类型一应用举例113.2.3 类型二应用举例113.2.4 类型二应用举例.123.3 常数变易法应用133.3.1 常数变易法应用举例.133.3.2 伯努利微分方程应用举例.143. 4 利用积分因子求解.143. 5 利用恰当微分方程求解.15参考文献.16一阶常微分方程初等解法一阶常微分方程初等解法摘 要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子The Fund
3、amental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating
4、factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration. Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integ
5、rating factor0 前言前言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在 20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解） 、奇异吸引子及孤立子等.常微分
6、方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.1 预备知识预备知识1. 1 变量分离方程变量分离方程形如, ()( ) ( )dyf xydx1.1的方程,称为变量分离方程,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶( )f x( )yxy函数.如果,我们可将( )改写成,这样变量就分
7、离开来了.两边积分,得( )0y1( )( )dyf x dxy到,( )( )dyf x dxcy为任意常数.由该式所确定的函数关系式就是常微分方程( )的解. c( , )yy x c11.2 恰当微分方程恰当微分方程将方程,),(yxfdxdy写成微分的形式,得到,0),( dydxyxf或把,平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程xy, 0),(),(dyyxNdxyxM(1.2)如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分,即)2(),(yxu,uuM x y dxN x y dydu x ydxdyxy则称方程就是恰当微分方程.)2(1.3 积分因子积分因子如果存在连续可微函数,
8、使得,0x y ,0x y M x y dxx y N x y dy为一恰当微分方程,即存在函数,使u,MdxNdydu则称为方程的积分因子., x y,0M x y dxN x y dy2 基本方法基本方法2.1 一般变量分离一般变量分离, ( ) ( )dyf xydx) 1 . 2(的方程,称为变量分离方程,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶( )f x( )yxy函数.如果,我们可将改写成( )0y) 1 . 2(,( )( )dyf x dxy这样,变量就分离开来了.两边积分,得到. ( )( )dyf x dxcy)2 . 2(这里我们把积分常数 明确写出来,而把, 分别理解
9、为,的原c)(ydy dxxf)()(1 y)(xf函数.常数 的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.c)2 . 2(因式不适合情形.但是如果存在使,则直接验证知也)2 . 2(0)(y0y0)(0y0yy 是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解中) 1 . 2(0)(y0y0yy )2 . 2(时,必须补上特解0yy 2.2 齐次微分方程齐次微分方程2.2.1 齐次微分方程类型一形如, )(yxgdxdy的方程,称为奇次微分方程,这里是的连续函数.)(ugu作变量变换,xyu 即,于是uxy .udxduxdxdy代入原方程可得, )(ugudxdux整理后,得到
10、. xuug dxdu)()3 . 2(因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可)3 . 2(得到原方程的解2.2.2 齐次微分方程类型二形如, 222111 cybxacybxa dxdy )4 . 2(的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里,1a,均为常数.1b1c2a2b2c可分为三种情况来讨论:(常数)的情形1kcc bb aa212121这时方程可化为,kdxdy有通解,ckxy其中 为任意常数.c的情形. 2212121 cckbb aa令,这时有ybxau22.21 2222cuckubadxdybadxdu 是变
11、量分离方程及不全为零的情形 32121 bb aa21,cc因为方程右端分子,分母都是的一次多项式,因此yx, . 0, 0222111 cybxacybxa代表平面上两条相交的直线,设交点为,若令Oxy, ,yYxX则方程可化为, 0, 02211 ybxaybxa从而方程变为)4 . 2(.2211XYgYbXaYbXa dXdY因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形)4(021 cc此时直接变换即可xyu 2.3 常数变易法常数变易法2.3.1 常数变易法一一阶线性微分方程 ,xQyxPdxdy其中在考虑的区间上是的连续函数,若,方程变为 xQxP,xQ
12、0x , yxPdxdy称其为一阶齐次线性微分方程,若称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离 , 0xQ方程,易求得它的通解为 ,dxxPcey这里 是任意常数.c现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中 恒c保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数 变易为的待定函数,使它满足cx方程,从而求出为此,令 ,xc ,dxxPexcy两边同时微分,得到 .dxxPdxxPexPxcedxxdc dxdy代入原方程,得到 ,xQexcxPexPxcedxxdcdxxPdxxPdxxP即 ,dx
