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1、第九章 欧式空间习题1(填空)设为 n 维欧氏空间 V 中的基,在此基下向量坐标分别n,21L,为与 ,则内积的充分必要条件是 ),(21naaaL),(21nbbbL niiiba1),(。 （是 V 的标准正交基）n,21L2(填空)是有限维欧氏空间的子空间，存在，使得21,VV0,2V的充分条件是子空间的维数之间满足 。 （1V）维（）维（21VV3对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为1） 。4 （证明）设 A 与 B 是欧氏空间 V 的两个线性变换，并且对任意有V，证明 AV 与 BV 作为欧氏空间是同构的。)(),()(),(BBAA证明：AV 与 BV 均是欧氏空
2、间 V 的子空间，因而对于 V 的内积来说作成欧氏空间。令，则是一个映射；VBAf),()(:f因为任取， 若 得 V,),()(AA, 0)(A，从而有)(),(0)(),(BBAA, 0)(B即可证是单射，又是满射，现证是线性的； ),()(BBff，有RkVAAA),()(),()()()()(BAfAAf)()()()(AfAfBB，再证保持内积不变；)()()()()(kfkBkBkAfkAff，有V,)(),()(),(2)(),()(),(AAaAAAAA)(),()(),(2)(),()(),(BBBBBBBB所以)(),()(),(BBAA即，从而是同构映射，AV)(),()
3、(),(BBAfAf)(),(AAf与 BV 作为欧氏空间是同构的。5 （证明）设 V 是实数域 R 上的 n 维欧氏空间，是 V 的一组基，n,21L是 R 中的 n 个数。证明：存在唯一向量使得内积nCCC,21L,V。niCii, 2 , 1),(L证明：设内积关于基下的度量矩阵为 A，且设n,21L（）; 则，n,21LnkkkM21niiAkkni, 2 , 1,010),(),(1LMML所以),(),(100001010),(),( ,),(),(1212121nnnnCCAkkkAkkkLLLLLLLLLL从而=，所以满足条件的是存在的。),(1nkk L1 21),(ACCC
4、nL再证唯一性;设存在，也有，VniCii, 2 , 1),(L则，从而有，niCiii, 2 , 1),(),(Lnii, 2 , 10),(L可推出即。0),(6（证明）设，是欧氏空间中的两组向量，如果m,21Lm,21L，则与同mjijiji, 2 , 1,),(),(L),(211mLVL),(212mLVL构。证明：先证；设且为 V1的基，设21dimdimVV rV 1dimr,21L，因为，02211rrkkkLmjijiji, 2 , 1,),(),(L所以 rrrrrrrriiiriii kkkkkkMLLLLLL111,11 11),(),(),(),(),(),(=，。
5、rrrrrrr kkkkMLLLLLL111,11 ),(),(),(),(),(),(11 riiiriiikk01 riiik由线性无关，得 同理可证，r,21L212dimdim,dimVVrV即12dimdimVV 所以，即与同构。21dimdimVV 1V2V7若对于 n 个非零数二次形 都0, 0, 021nkkkLAXXxxxfn),(21L有 则二次形是正定二次形。0),(21nkkkfLAXXxxxfn),(21L8求证：在欧氏空间中，两个向量的模相等当且仅当。,0),(9若 A 为 n 阶实对称矩阵，且,证明：存在 A 为 n 阶正交矩阵)(12NkEAkU，使得.EAUU 10证明：欧氏空间 V 的每一个子空间 W，都有唯一的正交补。 证明：如果 W=0，那么 W 的正交补就是空间 V，唯一性显然成立； 设 W0；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在 W 中取一组正交基
