数理方程续论教学大纲

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1、318.118.1数理方程续论教学大纲数理方程续论教学大纲学分数学分数 3 周学时周学时 3 一说明一说明1课程名称课程名称：数理方程续论。 （一学期课程）2教学目的和要求教学目的和要求 （1） 课程性质：课程性质：本课程是数学学院选修课程；选修对象为数学学院三 年级及四年级学生。 （2） 基本内容基本内容：本课程主要内容为一阶偏微分方程，Cauchy- Kowalevskaya 定理及其应用，Holmgren 定理及其应用，一阶对 称双曲型方程组，广义函数及 Sobolev 空间初步。 （3） 基本要求：基本要求：通过本课程的学习，熟练掌握一些偏微分方程的性质 及其基本的分析求解方法，如一阶

2、严格双曲型偏微分方程组的特 征理论及化为对角形方程组进行求解，先验估计，强函数方法， 一阶对称双曲型方程组的能量估计方法，广义函数与 Sobolev 空 间的初步应用等，为今后的学习打下基础。 3教学方式：教学方式：课堂授课。 4考试方式：考试方式：考试。 5教材：教材：数学物理方程第二版，谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆， 谭永基，高等教育出版社，2002。 参考书：现代偏微分方程导论 ，陈恕行，科学出版社，2005； 偏微分方程 ，Fritz John, 朱汝金译，科学出版社。二讲授纲要二讲授纲要第一章第一章 一阶偏微分方程组一阶偏微分方程组(12学时) 1引言（2 学时） 2两个自变量的一

3、阶线性偏微分方程组的特征理论（3 学时） 3两个自变量的一阶线性双曲型方程组的柯西问题（4 学时） 4两个自变量的一阶线性双曲型方程组的其他定解问题（3 学时）本章教学要求本章教学要求: :掌握两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论，熟练应用于严格双曲 型方程组化简中；掌握用逐次迭代方法求解对角形双曲型方程组的柯西问题， 并对一些定解问题的适定性进行讨论。第二章第二章 Cauchy-KowalevskayaCauchy-Kowalevskaya 定理定理（14 学时） 1幂级数解法（2 学时） 2Cauchy-Kowalevskaya 定理及其证明（4 学时） 3初始资料给在一般曲面上的情

4、形（3 学时） 4Holmgren 定理（3 学时） 5Holmgren 定理的应用（2 学时）本章教学要求本章教学要求: :掌握 Kowalevskaya 型方程的幂级数解法以及 Cauchy-Kowalevskaya 定理的强 函数证明方法及简单应用；掌握 Holmgren 定理的证明方法及简单应用。第三章第三章 对称双曲型偏微分方程组对称双曲型偏微分方程组（12 学时） 1对称双曲组及其柯西问题（2 学时） 2对称双曲组柯西问题的能量不等式（4 学时） 3柯西问题解的存在性及唯一性（4 学时） 4初边值问题的能量不等式与唯一性（2 学时）本章教学要求本章教学要求: : 了解对称双曲型偏微

5、分方程组的形式，掌握对称双曲型偏微分方程组柯西问 题和初边值问题的能量不等式的推导；熟练应用能量不等式推导解的唯一性， 同时结合 Cauchy-Kowalevskaya 定理或差分方法推导柯西问题解的存在性。第四章第四章 广义函数及广义函数及 SobolevSobolev 空间初步空间初步（16 学时） 1广义解与广义函数的概念（2 学时） 2广义函数的性质与运算（6 学时） 3广义函数的傅立叶变换（3 学时） 4基本解（2 学时） 5整数阶 sobolev 空间的定义与性质（3 学时）本章教学要求本章教学要求: : 掌握广义函数的概念，性质与运算；了解一些常系数偏微分方程的基本解以 及整数阶 sobolev 空间的定义与性质。本纲要编写者: 张永前