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1、高中数学竞赛专题讲座第 1 页 长春市十一高中教师：刘佰昌 电话：13596480661 QQ：616968104 Emai：平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有；)(22222BPAPACAB中线长：222222acbma4 垂线定理：2222BDBCADACCDA
2、B高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin)()(25 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC 中，AD 平分BAC，则；（外角平分线定理） ACAB DCBD角平分线长：（其中为周长一半） 2cos2)(2A cbbcapbcpcbtap6 正弦定理：， （其中为三角形外接圆半径） RCc Bb Aa2sinsinsinR7 余弦定理：Cabbaccos22228 张角定理： ABDAC ACBAD ADBACsinsinsin9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有A
3、B2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半 （圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中，ACBD，自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设 P 为O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2就是点 P 对于O 的幂过 P任作一直线与O 交于点 A、B，则 PAPB= |d2r2| “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆
4、的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即 ACBD=ABCD+ADBC，(逆命题成立) （广义托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB 是O 的弦，M 是其中点，弦 CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM 17 费马点：定理定理
5、1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理定理 2 三角形每一内角都小于 120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点” ，当三角形有一内角不小于 120时，此角的顶点即为费马点高中数学竞赛专题讲座第 2 页 长春市十一高中教师：刘佰昌 电话：13596480661 QQ：616968104 Emai：18 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且AEBFCD，
6、这个命题称为拿破仑定理 以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C1 、A1 、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1 、A1 、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2 、A2 、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2 、A2 、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上
7、，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，外心与内心的距离为 d，则 d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成 2：1 的两部分；)3,3(CBACBAy
8、yyxxxG重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结 AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则；1:2:GDAG（2）设 G 为ABC 的重心，则；ABCACGBCGABGSSSS31（3）设 G 为ABC 的重心，过 G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则；2;32ABKH CAFP BCDE ABKH CAFP BCDE（4）设 G 为ABC 的重心，则；222222333GCABGBCAGABC；)(31222222CABCABGCG
9、BGA（P 为ABC 内任意一点） ；22222223PGGCGBGAPCPBPA到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小； 222GCGBGA三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则 G 为ABC 的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(Cc Bb AayCcyBbyAaCc Bb AaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC
10、的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等； ),(cbacybyay cbacxbxaxICBACBA 内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；高中数学竞赛专题讲座第 3 页 长春市十一高中教师：刘佰昌 电话：13596480661 QQ：616968104 Emai：（2）设 I 为ABC 的内心，则；CAIBBAICABIC2190,2190,2190（3）三角形
11、一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若平分线交AABC 外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB，则 I 为ABC 的内心；（4）设 I 为ABC 的内心， 平分线交 BC 于 D，交ABC 外接圆于点 K，则,cABbACaBCA；acbKDIKKIAKIDAI（5）设 I 为ABC 的内心，I 在上的射影分别为，内切圆半径为，,cABbACaBCABACBC,FED,r令，则；)(21cbapprSABCcpCDCEbpBFBDapAFAE;CIBIAIpabcr26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等
12、；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAy CBACxBxAxOCBACBA 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设 O 为ABC 的外心，则或；ABOC2ABOC2360（3）；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和SabcR427 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边令,cABbACaBC，分别与外侧相切的旁切圆圆心记为，其半径分别记为)(21cbapABACBC,CBAIII,CBArrr,旁心性质：（1）（对于顶角 B，C 也有类似的式子
13、） ；,21,2190ACBICBIACBICBA（2）；)(21CAIIICBA（3）设的连线交ABC 的外接圆于 D，则（对于有同样的结论） ；AAIDCDBDIACBCIBI ,（4）ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径等于ABC 的直径为 2RR28 三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21 212)cotcot(cot4222CBAcba ，其中表示边上的高，为外接圆半径，为内切圆半径，)()(cpbpappprahBCRr)(21cbap29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2co
14、s4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba高中数学竞赛专题讲座第 4 页 长春市十一高中教师：刘佰昌 电话：13596480661 QQ：616968104 Emai：30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 （逆定理也成立）1RBAR QACQ PCBP31 梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q，C 的平分线交边 AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线33 塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点
