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1、水 文 J O U R N A LO FC H I N AH Y D R O L O G Y第2 7卷第6期2 0 0 7年1 2月V o l . 2 7N o . 6D e c . , 2 0 0 7水文频率分析中, 自有了概率权重矩法 1 和线性矩法 2 以来, 引起了广泛的关注和兴趣。线性矩(L -矩) 是概率权重矩(P WM) 的线性组合, 在这种矩的计算中只采用变数的一次幂, 与常规矩( 其变数需采用二次或更高次幂) 相比, 对统计参数的估计, 受变数误差的影响要小一些。L -矩与P WM相比, 在于前者系统地定义了一套新的统计参数, 这将在后面的式(1 6) 中看到。频率分布模型(
2、 频率曲线线型) 中参数的估计, 原则上, 只要有与模型参数相同个数的条件, 就能解得。例如, 对于三参数分布( 皮尔逊型分布) , 仅需给予三个合适的条件, 如三个常规矩、 三个线性矩或极大似然法的三个另一种一阶矩( 均值, 对数平均数和倒数平均数) 等, 均可直接或近似求得三个参数, 习惯上用均值x、 离差系数Cv( 或标准差S) 和偏态系数Cs来表 示, 以代表水文系列或所估计分布的水平、 离散度和偏度。 这在理论上是成立的, 但与实际的水文问题联系起来,各种方法就会有不同的效果,有的还会因计算繁复, 缺乏可操作性。不同的方法有不同的特点, 从实际应用上来说, 各有其优点和缺点, 故应结
3、合水文问题的实况, 注意它们的适应性和实用性。 对于线性矩的有些情况, 已在文献 3 中作了叙述, 这里仍以分布为例, 再补充几个有关的问题, 以利更进一步了解这个方法。1概率权重矩的无偏估计与线性矩的直接计算概率权重矩的定义为 1 Mi,j,k=10!xiGj( 1 - G )kd G(1)通常取i = 1, 以及j或k中有一个为零值, 即有M1,j,0=10!x Gjd G(2)或M1,0,k=10!x ( 1 - G )kd G =10!x Fkd F(3)上列各式中(x为系列X的取值) :G = G ( x ) = P ( X N, 则取(MN)= 0。亦可将式(1 2) 化算为:l2
4、=1 nn + 1 - 2 i n - 1xil3=1 n( n + 1 ) ( n + 2 ) - 6 ( n - 1 ) i + 6 i2 ( n - 1 ) ( n - 2 )xi(1 3)l4=1 n(n + 1 )(n + 2 )(n + 3 )- 2(6 n2+ 1 5 n + 1 1 )i+ 3 0 (n + 1 )i2- 2 0 i3 (n - 1 )(n - 2 )(n - 3 )xi式(1 0) 与(1 3) 是等效的, 如果不需要知道各阶P WM, 则取后者更为直接。2系列的相关性P WM的计算中,除M1,0,0= x之外,其他各阶矩为M1,0,k=1 n xiPi, 其
5、中Pi表示式(7) 中的pi、pi2或pi3。由于xi系列及Pi系列都是自大而小排列的( 自小而大排列 也一样) , 故这两个系列具有较强的相关性。取表1的资料为例 ( 其矩和有关值见表2) ,计算xi pi、xipi2和xipi3系列之间的相关系数, 分别以r( 1 )、r( 2 )和r( 3 )表示, 得到:r( 1 )= 0 . 9 5 0 8 3、r( 2 )= 0 . 9 7 5 6 9、r( 3 )= 0 . 9 6 6 2 8, 可见它们之间的相关关系十分密切,因而也会使xi、xipi、xipi2和xipi3系列之间有高的相关性, 见表3。金光炎:线性矩法的特点评析和应用问题1
6、7第2 7卷水 文表4概率权重的均值和标准差项 目均值p标准差S pp1 2n ( n + 1 ) 1 2 ( n - 1 )2!p21 3n ( n + 1 ) ( 4 n - 7 ) 4 5 ( n - 1 )2( n - 2 )!p31 43 n ( n + 1 ) ( 1 5 n2- 6 5 n + 6 2 ) 5 6 0 ( n - 1 )2( n - 2 ) ( n - 3 )!表1某站年最大1日降雨量 (mm)系列表从表3可见, 对于表1资料而言, 各阶P WM相互之间的相关程度也十分高, 几乎可以用一个系列( 如x系列) 来表达其他系列。因此, 在用P WM的线性组合来计算线性
7、矩时, 还因其中有负值项, 则很可能会损失有效数的位数, 从而影响计算结果的精度。由于x p = xP +1 n( xi- x ) ( Pi- P )(1 4)式中:P分别表示p、pi2和pi3;x和P分别为相应系列的均值;x P为各阶P WM, 即M1,0,k(k = 1,2,3) 。已知1 n( xi- x ) ( Pi- P ) =n - 1 nr( k )SxSp(1 5)式中:Sx和SP分别为x和P系列按常规矩法计算的标 准差。概率权重P系列的均值和常规矩法计算的标准差, 见表4。由式 (1 4) ,可得各阶P WM(M1,0,k)及L -矩 (lk) ,从而得到线性矩法的各个统计参
8、数:L -离差 系数 (L - Cv) ,L -偏态系数 (L - Cs)及L -峰态系数 (L - Ck) ,即年序降雨量年序降雨量年序降雨量11 6 0 . 31 09 7 . 51 97 2 . 421 5 2 . 11 19 3 . 42 06 8 . 831 2 9 . 31 29 2 . 62 16 8 . 041 2 5 . 91 38 8 . 32 26 3 . 781 1 0 . 61 48 3 . 72 35 9 . 491 0 4 . 81 58 2 . 02 45 5 . 471 0 4 . 61 67 6 . 7总和2 2 4 281 0 3 . 51 77 5 .
9、8均值9 3 . 4 2 591 0 0 . 01 87 3 . 4标准差2 7 . 4 9 9表2按表1资料计算的矩和统计参数值(x = 9 3 . 4 2 5 )常规矩法线性矩法P WM线性矩t参数相应于Cv= 0 . 2 9 4M1,0,1= 5 4 . 4 1 6l2= 1 5 . 4 0 7t2= 0 . 1 6 5Cv= 0 . 3 0 6Cs= 0 . 9 3 2M1,0,2= 3 9 . 3 5 2l3= 3 . 0 4 2t3= 0 . 1 9 7Cs= 1 . 1 9 5Ck= 3 . 4 3 5M1,0,3= 3 1 . 1 6 1l4= 2 . 2 1 6t4= 0 .
10、 1 4 4Ck= 3 . 7 1 4注:Ck值按理论关系Ck= Cs2/ 2 + 3计算, 实际计算为3 . 2 4 2( 常规矩) 或3 . 5 4 5(k统计量) ;表中数字均在计算机的更多位数上截取;t参数与线性矩的关系见式(1 6) 。表3系列间的相关系数表系列xxpxpi2xpi3x10 . 9 9 5 3 90 . 9 7 8 3 00 . 9 5 2 2 3xp10 . 9 8 4 9 60 . 9 5 5 9 3xpi210 . 9 9 1 4 3xpi311 8第6期L - Cv= t2=l2 l1= 2 r( 1 )Cv xC1L - C s = t3=l3 l2= 3
11、(r( 2 ) r( 1 )C2 C1- 1)(1 6)L - Ck= t4=l4 l2= 1 0r( 3 ) r( 1 )C3 C1- 1 5r( 2 ) r( 1 )C2 C1+ 6式中:Cv x= Sx/ x及C1=n + 1 1 2 n!C2 C1=4 ( 4 n - 7 ) 1 5 ( n - 2 )!(1 7)C3 C1=9 ( 1 5 n2- 6 5 n + 6 2 ) 1 4 0 ( n - 2 ) ( n - 3 )!当n 1 5时,C1= 0 . 2 9 8 0 . 2 8 9,C2/ C1= 1 . 0 4 3 1 . 0 3 3, C3/ C1= 1 . 0 0 7 0
12、 . 9 8 2。同样可以由x P系列的r( k )以及Cv 和n, 直接用式(1 6) 计算所需的t2、t3和t4值( 这样做可 以了解r( k )的大小) 。再由这些值求得相应于线性矩法 中的Cv和Cs。用表1的资料, 也得到与表2中相同的结果。 例如本例式(1 6) 的t3= 3 (0 . 9 7 5 6 9 0 . 9 5 0 8 31 2 8 9 1 5 2 2!- 1 )= 3(1 . 0 6 5 8 0 - 1)= 3 0 . 0 6 5 8 0 = 0 . 1 9 7 4 0, 很明显, 有效数至少是头一位数损失了。3计算Cs和Cv的有关近似式用线性矩法计算分布Cs值, 一般先
13、计算其偏度参数“( 等于4 / C2s) , 然后由Cs= 2 / !而得。对于Cs为中小值时, 有Cs/ t3近似于6, 文献 3 中已有详细分析。Cs值可表示为 Cs= ( 6 + t ) t3(1 8)式中的 t可分别用下列近似式:当t31 / 3时 t =0 . 1 3 9 9 6 - 0 . 4 1 9 8 8 t3 1 - 3 . 5 1 1 5 1 t3+ 2 1 . 7 2 7 4 2 t23(1 9)当1 / 3 2,很可能会在频率 曲线尾部两根曲线相交,其长历时的值会小于短历时的值。现用目估适线法进行调整,经验公式采用常用的p = i / ( n + 1 )和线性矩法中的p
14、 =(i - 0 . 3 5)/ n分别进行拟合, 结果同列于表6中。从中可见, 统计参数的变化趋势有了一定的规律性。 由于经验频率公式的不同, 对大多数的历时而言, 两者的结果有差异。5结语本文讨论了线性矩法的几个特点和应用上的问题, 几点认识如下。(1)线性矩可以经P WM的无偏处置后通过线性组合而计算得到, 也可以直接按线性矩的定义式(1 1) 硬算求得, 两者的结果是相同的, 但前者的计算较为简便。(2)因为计算P WM时各个系列之间具有较高的相关性, 经线性组合后, 会引起有效数位数的损失。其次是这种系列间的高相关性, 所计算而得的矩或参数只是由于微小差异( 即完全相关与高相关系数之
15、间的差异) 所致, 故其灵敏度较差, 很可能影响计算结果的精度。(3)本文介绍了用t2、t3直接计算Cv、Cs的近似公 式, 以简化计算过程。 线性矩法是先计算Cs值, 然后据 此Cs值再推算Cv值, 如果Cs有误差, 则会影响Cv的 精度, 这与常规矩或一般的目估适线法是不同的。系列XX - 2 5X - 5 0X - 7 5均值9 3 . 46 8 . 44 3 . 41 8 . 4用式( 7 )l21 5 . 41 5 . 41 5 . 41 5 . 4t30 . 1 7 90 . 1 7 90 . 1 7 90 . 1 7 9t40 . 1 4 50 . 1 4 50 . 1 4 50
16、 . 1 4 5S2 8 . 5 52 8 . 5 52 8 . 5 52 8 . 5 5Cs1 . 1 9 41 . 1 9 41 . 1 9 41 . 1 9 4用式( 2 6 )l21 5 . 91 5 . 61 5 . 31 5 . 0t30 . 1 9 90 . 2 0 40 . 2 0 90 . 2 1 4t40 . 1 8 60 . 1 7 00 . 1 5 30 . 1 3 5S2 9 . 5 42 9 . 0 32 8 . 5 12 8 . 0 0Cs1 . 2 0 21 . 2 3 21 . 2 6 31 . 2 9 5注: 表中为分布计算结果,S为标准差。表6某站不同时段降水量系列统计参数表方法参数历时1 d3 d7 d1 5 d3 0 d1 2 0 d年线性矩法均值9 7 . 81 3 9 . 71 7 1 . 82 2 6 . 43 0 9 . 86 2 9 . 19 3 3 . 8Cv0 .
