《处理球的“内切”“外接”问题 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《处理球的“内切”“外接”问题 (2)（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1处理球的处理球的“内切内切” “外接外接”问题问题一、球与棱柱的组合体问题：1 正方体的内切球：设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。a（1）截面图为正方形的内切圆，得；EFGH2aR （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。OEFGHaR22（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面作截面图得，圆为1AAO矩形的外接圆，易得。CCAA11aOAR2312.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,PABCPAPBPCaPCPBPA求这个球的表面积是
2、_.【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一 顶点构成的直角三角形便可得球半径。 】3.已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的 5 个面都a111CBAABC 1O2O相切，求球与球的体积之比与表面积之比。1O2O分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，1O2O1AA设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱aaR632的高为，由中，得aRh3322ODARt11图 3图 4 图 5图 62，2222 222 1
3、125 63 33 33aaaRaR aR1251，1:5:2 22 121RRSS1:55:21VV二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关 系解之。解：如图 1 所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形Oa 的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径Or 为R在中，即，得BEORt222EOBEBO222 33raR ，得aR46rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面4hh体的高)，
4、且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。43hOBERt5.正三棱锥，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少SABC6. 正四棱锥，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少SABCD练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，2则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 。3设是球面上的四点,且两两互相垂直,若, , ,P A B CO,PA PB PCPAPBPCa则球心到截面的距离是 .OAB
5、C4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥中，侧棱，侧棱，SABCSCSAB 侧面2SC 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，3 26则此球的体积为 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面 都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7.（球内接正四棱锥问题）半径为的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥则四棱锥的体积为 R图 13 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相8 3切则球的表面积与体积分别为 9. 三棱锥的两条棱,其余各棱长均为，求三棱锥的内切球半径.ABCD6ABCD5 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相 等，都为球半径这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法R 解决1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 3143 6a129 21:532 3R64256;981
