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1、中学生数学 2 0 1 4年 4月上 第 4 8 7期( 高中) 云南省玉溪第一中学( 6 5 3 1 0 O ) 武增明 数学 学 经 历学 习过 程 ， 注 重 学 习 的 探究与合作 一题多解能够很好地体现学习过 程 中 的 自主 探 究 ， 有 利 于 培 养 思 维 的广 阔性 、 灵 活 性 和 敏 捷 性 下 面 给 出 公 式 3： = 1 的多种推导方法 ， 与读者共赏 方 法 1 归 纳猜 想法 。 1 。 + 2 。 一 ( 1 +2 ) 。 ， 1 。 + 2 。 + 3 。 一 ( 1 + 2 +3 ) 。 ， 1 。 + 2 。 + 3 。 +4 。 一 ( 1 +
2、2 + 3 + 4 ) ， 由此归纳猜想而得到 1 。 + 2 。 +3 。 + + 一 ( 1 +2 +3 + + 7 2 ) 。 ， 于 是 塞 一 以利 用 归 纳 猜 想 法 推 导 公 式 的 思 维 过 程 为 背 景 的 高 考 题 和 竞 赛 题屡见不鲜 ， 如： 2 0 1 0年高考陕西卷理 1 2 文 1 1 ； 2 0 1 2年全国高中数学联赛 A卷一试第 1 0题 方 法 2 裂 项相 消法 。n3一丢 4 一亡 n 。 ( n + 1 ) 。 一( 一 1 ) 一 。 ( n - I- 1 ) L ( 一1 ) 。 ， 。 一 X 2 一 o 1 。 ) + ( 2
3、。 X 3 -1 。 2 。 ) + ( +1 ) 一( 一1 ) 。 r l 。 ) 一 ( + 1 ) 4 方 法 3组 合数 法 由组合数性质 C 一 + ， 可推得公式 C： +C= + 1 +C ： + z + +C = = + 一。C n + l + 1 又 。 一6 C +6 C ： +C ( 3 ， N ) ， i 。 = c l + ( 6 c ； + c ； ) -I- ( 6 c i + 6 c ； i 1 +C ) + +( 6 C ： +6 C ： +C ) =6 ( c ； +C i + ) +6 ( C l +C ； + + ) +( C j +C ； + +C
4、) =6 + l +6 C 3 + l +C ： + 1 ( ， l + 1 ) 一广 方 法 4图表 法 这是古希腊人用形( 图形或数形或 图像) 形 象地说明( 1 +2 +， 1 ) 。 =1 。 +2 。 + 。 从 图 1的 数 表 中 ， 我 们发 现， 表 中第一行的数 字之 和 等 于 1 + 2 + + n ， 第二 行 的数 字之 和 等 于 2 ( 1 +2 + + ) ， 依 此 类推 ， 第 ( 2 ) 行 的数 字之 和 等 于 7“ ( 1 +2 + + ) ， 于 是 ， 图 1数 表 中 所有 数 字 之 和等 于 ( 1 + 2 +0 0 0 0 0 0 0
5、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +匠 卫 图 1 + + ) + 2( 1 + 2+ + ) + + ( 1 + 2 + + ) 一 ( 1+ 2+ + ) ( 1+ 2+ + ， z )一 ( 1 +2 + ) 从图 2的数表中， 我们发现， 以 第一行中的每一个数字为起点， 顺时针方向看数 字之和分别 为： 1 1 。 ， 2 +4 +2 -2 。 ， 3 +6 +9 +6 + 3 3 3 ， ， ， z + 2 n+ 3 n + + + ( 一 1 ) + + 3 + 2 +， 2 一 。 ， 于是， 图 2 数表 中所有数字之和等于 1 。 + 2 。 + +
6、 故 1 。 +2 。 + + 一 ( 1 + 2 + + ) 0 一 n 2 (_n + 广l一) 2 ，即 奎 图 2 网址： Z X S S c b p t c n k i n e t 电子邮箱： z x s s ( c h i n a j o u r n a 1 n e t c n 一 节 堪鲞 学 中学生数学 2 0 1 4 年 4月上 第 4 8 7期( 高中) 一奄 o、 o ， 一 、 ooo o 、 o 数的和 ， S 左、 S 右分别表示左边 、 右边 三角形 中 的 所 有数 之和 则 有： S 左一 ， 一 垒 墨 墨 6 一去 ( 2 k 。 + 3 k + 愚 )
7、， 故 n ( n+ 1 ) ( 2 n+ 1 ) 一 于 是 得 詈 塞 1是 。 ： 旦 ， u u 所 以有 3 厂 ( n+ 1 ) 。 1 一 -J = L 一 显然 ， 类 比这 种 方 法 推 导 ， 还 可 推 导 四 次 幂 和 、 五 次 幂 和 、 ， 直 至 次 幂 和 ， 故 而 此 方 法 具有 一般 性 方 法 6恒等 式 法 下 面先 证 明 i = 1 。一丛 我们注意到( n +1 ) 。 一n 。 一3 n 。 +3 n +1 ， 因此， 2 。 一 1 。 一 3 X 1 。 + 3 1 + 1 ， 3 。 一 2 。 一 3 2 + 3 2 + 1 。
8、 4 。 一 3 。 一 3 3 。 + 3 3 + 1 ( + 1 ) 。 。 一 3 n + 3 n+ 1 ， 以上 各式 相加 ， 得 ( 十 1) 一 1 。一 3( 1 十 2 + + ， z )+ 3(1 + 2 + + ， 2 ) + ， 即 ( +1 ) a 一1 。 一 3 z + +， z ， 整 理 砉 ： 下 面 推 导 奎 。 ： 我们注意到( +1 ) 一 一4 n 。 +6 n 。 +4 n ， 因此 2 1 一 4 1 。 + 61 + 41 。 3 一2 一42 。 + 62 + 42 ， 4 0 3 3 4 3 3 + 6 3 0 + 4 3 ( n十 1
9、) 一 ， 2 一 4 n 。+ 6 n + 4 n。 以上各 式相 加 ， 得 ( +1 ) 一1 一 4 s +6 z +尘 ， 整 理 ， 得 。一 以上 是公 式 s： = = 的 6 种 推 导方 法 ， 此公 式 的证 明方法 ， 除上述 6种方 法 以 外 ， 还 有 如下 证 明方法 ： 证明 构 造关于 的函 数f ( n ) 一 i 一 I= 1 寺 ( n +1 ) 。 ， 问 题 转化为 证明， ( ) 是常数函 数 ， 且_厂 ( 1 ) 一0 由于f ( n +1 ) -f( n ) 1 一( +1 ) 。 一( +1 ) ( +2 ) 一 。 n 一 一 1 一 ( +1 ) 。 一 寺( +1 ) 。 4 ( + 1 ) = = = 0， 故有 ， ( n + 1 ) 一厂 ( ) ， 于是 ， 有 厂( + 1 ) = = = 厂 ( ， 2 ) 一厂( n 一 1 ) 一 = = = f ( 2 ) 一- 厂 ( 1 ) ， 而 ( 1 ) 一0 ， 所以 -厂 ( ) 一0 ， 故问题得证 ( 责审 周春荔) 网址 ： Z X S S c b p t c n k i n e t 2 5 电 子 邮 箱 ： 。 i 。 。 。 = 志 1 6 卜 1 2 r 1 3 + 寸 鲞
