三角形的内切圆和外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用三角形外接圆半径的求法及应用方法一：方法一：R＝＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD．证证：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE， 则∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C， ∠ABE＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴， ACAE ADAB∴ AB·AC＝AE·AD 方法二：方法二：2R＝＝a/SinA，，a 为为∠∠A 的对边的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为 R求证： 2R＝AB/SinC 证证：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE， 则∠ABE＝90°.∴AE＝AB/SinE ∵∠C＝∠E，SinC ＝SinE ∴AE＝AB/SinC ∴2R＝AB/SinC 若若 C C 为钝角，则为钝角，则 SinCSinC＝＝SinSin（（180180o o－－C C））应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径例例 1 1 已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径 r.分析：作出直径 AD，构造 Rt△ABD.只要求出△ABC 中 BC 边上的高 AE，用方法一就可以求出直径 AD. 解：作 AE⊥BC，垂足为 E. 设 CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ，∴132-x2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即 CE＝5，∴AE＝12 R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径 r 为.865例例 2 2 已知：在△ABC 中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC 的外接圆的半径 R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角）应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角） ，求外接圆的半径求外接圆的半径例例 3 已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径 R.分析：考虑求出角的对边长 AB，然后用方法一或方法二解题.解：作直径 AD，连结 BD.作 AE⊥BC，垂足为 E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，∠CAE＝∠DAB＝ 90°－ 60°＝30° CE＝AC＝1，AE＝，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x)2133应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径用方法二例例 4 4 已知已知 AD=5,AC=7,CD=3,AB=10AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3 3，求它的外接圆的半径，求它的外接圆的半径解解 从 A 作 AM⊥BC 于 M，则AD2－MD2＝A M2 ＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．得 R＝14， 则△ABC 外接圆面积 S＝πR2＝196π．例例 5 5 如图 3，已知抛物线 y＝x2－4x＋h 的顶点 A 在直线 y＝－4x－1 上，求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标； ③△ABC 的外接圆的面积． 解解 ①A(2，－9)； ABCODE②B(－1，0)； C(5， 0)． ③从 A 作 AM⊥x 轴交于 M 点， 则 BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC 外接圆面积 S＝πR2＝25π三角形内切圆半径三角形内切圆半径 r 的求法的求法1 ∵S∵S△ABC△ABC=1/2(a+b+c)r=1/2(a+b+c)r∴r=2S∴r=2S△ABC△ABC/(a+b+c)/(a+b+c)2 2 Rt△ABCRt△ABC 中中,r=(a+b-c)/2,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆和外接圆【【知识要点知识要点】】1 1、三角形的外接圆、三角形的外接圆（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等． （2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径( 为斜边长)．2cR c2 2、三角形的内切圆、三角形的内切圆（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分 线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．（2）若三角形的面积为，周长为 a+b+c,则内切圆半径为:，当为ABCScbaSrABC 2ba,ABCEDI直角三角形的直角边， 为斜边时，内切圆半径或.ccbaabr2cbar3 3、圆内接四边形的性质、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【【典型例题典型例题】】 （因无答案，题目可做可不做）（因无答案，题目可做可不做）一、填空和选择一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( )A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形（2）如右图，I 是的内心，则下列式子正确的是（ ）ABCA、∠BIC=-2∠A B、∠BIC=2∠A C、∠BIC=+∠A/2 D、∠BIC=-∠A/21809090（3）外切于⊙O，E、F、G 分别是⊙O 与各边的切点，则的外心是的 ABCEFGABC。

4）直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则= ．Rr,Rr :（6）圆外切等腰梯形底角为，腰长为 10，则圆的半径长为 ．60（7）等边三角形一边长为 2，则其内切圆半径等于 ．（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．（9）的内切圆⊙I与 AB、BC、CA 分别切于 D、E、F 点，且∠FID=∠EID=，则ABC135为 ．ABC 例 2．如图，△ABC 中，I 是内心，AI 交 BC 于 D，交△ABC 的外接圆于 E求证：（1）IE=EC， （2）IE2=ED·EA·IAB AC A例 3．如图，已知内接于⊙，AE 切⊙于点 A，BC∥AE，求证：是等腰三角ABCOOABC 形例 4．已知三边长为 6，8，10，则它的内心，外心间的距离为 ABC【【经典练习经典练习】】一、选择题一、选择题1.下列命题中，正确的有（ ）① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2.在圆内接四边形 ABCD 中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ）A．80° B．90° C．100° D．120°3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径 r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ）A． B． C． D．43 3 23 24.如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ）A．125° B．110° C．55° D．70°ABCDO图 1ABD CO图 2ADPBC图 3·ABCOEP5.如图 2，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ）A．30° B．60° C．120° D．90°6.如图 3，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 P 在 AD 上，则∠BPC 为（ ）A．35° B．40° C．45° D．50°7.如图 4， 中，过点 Q、M 的圆与 PQ、MN 分别相交于点 E、F，下列结论中正确的MNPQ有（ ）①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8.如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 为⊙O 的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC =（ ）A．50° B．80° C．100° D．130°二、填空题二、填空题9．设 I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 10．若三角形的三边长为 5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 11．直角三角形的一边为 a，它的对角是 30°，则此三角形的外接圆的半径是 12．如图 6，⊙I 切△ABC 于 D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= OFNPEQM图 4AODCBE图 5DABCI EF图 6AFCEBD O图 7ADBCO图 8︵13．如图 7，⊙O 内切于 Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F 为切点若∠AOC=120°，则∠OAC= ，∠B= ；若 AB=2cm，则 AC= ,△ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。

14．如图 8，若弦 AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC= 度，∠ACD= 。