杨学枝22道不等式猜想

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1、 1 二十二道不等式猜想二十二道不等式猜想 杨学枝 （福建 福州第二十四中学 350015） 笔者在数学奥林匹克不等式研究一书（哈尔滨工业大学出版社，2009 年 7 月）中提出了二十二道不等式猜想，这些猜想是本人多年来在初等不等式研究中产生的.下面，谈谈这二十二道不等式猜想提出的背景，也许对猜想的解决能起到一定的作用. 1. 设设0,)(1,2, )2iin =，1ni i n = ，则，则 2211(tan) (cos)tancosnn n ii iin=， （1） 当且仅当当且仅当12n= =时， （时， （1）式取等号）式取等号. 见数学奥林匹克不等式研究第一章“等价变换法证明不等式”

2、例 7. 1992 年 6 月笔者在给学生作奥赛讲座时，曾编拟过以下 命题 1 （见数学奥林匹克不等式研究第一章“等价变换法证明不等式”例 7） 设, ,x y zR，u 为某已知正数，求证 i） 2223()()4xuux+（2） 当且仅当2uxyz=时，(2)式取等号. ii） 5 22()72 ( )5uxux+（3） 当且仅当5uxyz=时，(3)式取等号. 笔者最先考虑用三角代换证明1u =时的如下不等式 5 221(1)72 ( )5xx+（） 设tanx=，tany=，tanz=，,0,)2 ，则去证 222tantantan25 5 (1tan)(1tan)(1tan)72 +

3、. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 2 再由（）式作置换：xxu，yyu，zzu，即得（2）式. 用类似方法可证得 2222343 7 (1)(1)(1)(1)1024xyzw xywz+（4） 当且仅当1 7xyzw=时， （4）式取等号. 进一步研究后，笔者曾在中学教研（数学） （浙江） ，1992 年第 11 期的“难题征解”栏中提出上述猜想 1. 2. 设设iaR，记，记1ni iAa=，又记，又记i i iaxAa=，1,2,in=.12,ns ss是关于是关于12,nx xx的初等对称式，则有的初等对称式，则有 32 312 12

4、3(1)(1)(1)(1)n n n nnnnnsnsnsns CCCC. （5） 见数学奥林匹克不等式研究第一章“等价变换法证明不等式”例 14. 1988 年 8 月 22 日，笔者写过一文一个初等对称式不等式 ，于 1988 年 9 月 12 日投中学数学 （湖北） ，发表于 1989 年第 2 期.文中主要给出了以下 命题 2 （见数学奥林匹克不等式研究第一章“等价变换法证明不等式”例 14） 设12,na aa是 n 个非负实数，我们把从12,na aa这 n 个数中，每次不重复地取出k(1,2, )kn=个数的乘积之和记为ks，则称12,ks ss为这 n 个数的初等对称式.对此，

5、有 12 1 1( 1)n kn k k kk ss=22232412 1121314234( 1)0nnnnn nsssssssn s=+ （6） 当且仅当12,na aa中所有非零的数都相等时， （6）式取等号. 为证（6）式，笔者首先证明：若0kx (1,2, )kn=，且111n kkkx x=+时，有 112nkij kij nxx x= =1,2, ,n，记 12 112( ,)n k n kkkxg x xxxx=+=+（约定1122,nnxx xx+=） ，当nZ+，且13n，或15,17,19,21,23n =时，有 12 112( ,)2n k n kkkxng x xxx

6、x=+=+； （29） 当n为不小于 25 的奇数或n为不小于 14 的偶数时， （29）式不成立. 由此，笔者提出了猜想 13.若猜想 13 为真，由（26）式易得到（29）式. 14. 设设,1,2,iaRin=，,m n为正整数，且为正整数，且12naaan+=，则，则 111(1)(1)nn mm ii iiaa=+， （30） 当且仅当当且仅当121naaa= =时， （时， （30）式取等号）式取等号. 15. 设设,1,2,iaRin=，,m n为正整数，且为正整数，且1ni ian=，则，则 11 1111 11mmnn ii mm iiiiaanaa =+， （31） 当且仅

7、当当且仅当121naaa= =时， （时， （31）式取等号）式取等号. 16. 设设iaR，1,2,in=,且且1ni ian=，,m n为正整数，且为正整数，且mn，则，则 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 8 1(1)2n mn i ia=+， （32） 当且仅当当且仅当121naaa= =时， （时， （32）式取等号）式取等号. 以上猜想 14，15，16， 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 89. 2007 年 5 月 27 日，笔者为奥赛讲座编拟了以下 命题 11 （ 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示

8、与参考答案”题 89） 设, ,a b cR，且3abc+=，则 22(1)(1)3(1)(1)bc bc+， （33） 当且仅当1abc=时， （33）式取等号. 由（33）式可以得到：若, ,a b cR，且3abc+=，则 2(1)(1)aa+， （34） 当且仅当1abc=时取等号. 由此，提出猜想 14，通过深入探究，又提出了上述猜想 15，猜想 16. 17. 设设iaR，1,2,in=，且，且121naaaan+=，则，则 22 111()11n niiiaa aa=+， （35） 当且仅当当且仅当12naaa= =时， （时， （35）式取等号）式取等号. 见数学奥林匹克不等式

9、研究第八章“练习提示与参考答案”题 90. 2007 年 5 月 28 日，笔者为奥赛讲座编拟了以下 命题 12 （ 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 90） 设, a bR，且12ab+，则 22221112 111()2ab ab abab+， （36） 当且仅当ab=时， （36）式取等号. 由（36）式可以得到 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 9 2 2221(1)(1)2(1)(1)1()2ab ab abab+， （37） 因此，启发笔者提出了上述猜想 17. 18. 设设,iiR ，1,2,in=，3n ，

10、且，且11=，则，则 2 112sin( sinsinsin)(2)sinnn nn+， （38） 当当4n =时，当且仅当时，当且仅当 1234112342( sinsinsinsin)cos(sinsinsinsin)cos+=+ 1234312344(sinsinsinsin)cos(sinsinsinsin)cos=+=+ 时， （时， （38）式取等号；其余情况，当且仅当）式取等号；其余情况，当且仅当iin=（1,2,in=）时， （）时， （38）式取等）式取等号号. 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 96. 1986 年 3 月 20 日，笔者在三角函数教学

11、中，编拟了以下 命题 13 （ 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 96） 设123,0, ，123,R 且11=，则 312 11239sin( sinsinsin)2(1 sinsinsin)2224+， （39） 当且仅当1231233=，或123(,)(90 ,90 ,0 ) =，且123(,) 12(,90 ) =（1290+=） ，或其轮换式时， （39）式前一个不等式取等号；当且仅当12=31233=时， （39）式后一个不等式取等号. 由（39）式很自然想到猜想 18. 19. 设设12,nx xxRL，且，且222 121nxxxn+L，证明或否定：，证明

12、或否定： （1） 12 11(1)(2)(1)2nij ij nnnnx xxx x +L； （40） （2） 12121nnnx xxxxx +LL； （41） （3） 12231(1)nnnx xxx xx+ LL. （42） 当且仅当当且仅当12,nx xx中有一个为中有一个为 0，其余，其余(1)n个都等于个都等于 1 时，以上三式均取等号时，以上三式均取等号 .这这里里23nx xxL表示表示12,nx xxL中每（中每（1n）个数乘积之和）个数乘积之和. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 10 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 100. 2006 年 2 月 12 日，笔者写了一文一个不等式链及其证明 ，发表于中学数学教学（安徽） ，2007 年第 4 期，文中提出并证明了以下 命题 14 （ 见数学奥林匹克不等式研究第八章“练习提示与参考答案”题 100） 设1234,x x x xR，且2222 12343xxxx+，则 12342341 1431