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1、1知识改变命运知识改变命运 勤奋塑造成功勤奋塑造成功整理人整理人落叶落叶时间时间 2011-4-15天才是百分之九十九的勤奋加百分之一的灵感天才是百分之九十九的勤奋加百分之一的灵感两道趣题的多种解法及推广两道趣题的多种解法及推广四川省四川省邻邻水水县县九九龙龙中学中学 任任贤贤德德例例 1：传说很久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产：传说很久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产 17 头牛分给三个儿子，长子分头牛分给三个儿子，长子分，21次子分次子分，老三分，老三分，不能杀牛分肉，也不能伤害兄弟情谊。若无法分，就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分
2、，只好去，不能杀牛分肉，也不能伤害兄弟情谊。若无法分，就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分，只好去31 91请教黄老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了请教黄老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了 9 头牛（头牛（1889 9） ，次子分得，次子分得21了了 6 头牛（头牛（1886 6） ，老三分得了，老三分得了 6 头牛（头牛（1882 2） 。他们刚好把。他们刚好把 17 头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既31 91高兴又满意。高兴又满意。这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一
3、种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数学问题，令人回味无穷。我们这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数学问题，令人回味无穷。我们再看下面的例子。再看下面的例子。例例 2：有一家商店出售啤酒，它有一个规定，即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了：有一家商店出售啤酒，它有一个规定，即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了 12 瓶啤酒招待客人，瓶啤酒招待客人，问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完 12 瓶啤酒后，用瓶啤酒后，用 12 个空瓶又可兑换个空瓶又
4、可兑换 4 瓶啤酒，瓶啤酒，喝完后，再用其中喝完后，再用其中 3 个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下 2 个空瓶，即最多只能喝个空瓶，即最多只能喝 12 24 41 11717 瓶啤酒，并且剩下瓶啤酒，并且剩下 2 2 个瓶子。个瓶子。似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借 1 1 个啤酒瓶，合起来共个啤酒瓶，合起来共 3 3 个啤酒瓶，可兑换一瓶啤酒，喝完后，归还一个个啤酒瓶，可兑换一瓶啤酒，喝完后，归还一个啤酒瓶，即最多可得到啤酒瓶，即最多可得到 12124 41 11 11818 瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借一
5、法的解题方法。瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借一法的解题方法。事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于无限可分的问题。其解答如下：事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于无限可分的问题。其解答如下：解法二解法二（例（例 1 1）的解答：第一次分配）的解答：第一次分配长子分长子分 1717头，次子分头，次子分 1717头，老三分头，老三分 1717头头21 31 91而（而（11）；也就是说还剩下总数的；也就是说还剩下总数的没参与分配，即还剩下没参与分配，即还剩下头头21 31 91 181 181 1817第二次分配第二次分配长
6、子分长子分头，次子分头，次子分头，老三分头，老三分头头1817 21 1817 31 1817 91同样剩下参与本次分配数目同样剩下参与本次分配数目的的，本次分配结束就剩下，本次分配结束就剩下头头1817 1811817 2这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样，每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样，每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的没参与分配。没参与分配。181长子分得的牛为：长子分得的牛为：2171721 1817 211817 221 n1817 21（1 1）217 181 2181 n181（）21718111 9 9（头）（头）次
7、子分得的牛为：次子分得的牛为：171731 1817 311817 231 n1817 31（1 1）317 181 2181 n181（）31718111 6 6（头）（头）老三分得的牛为：老三分得的牛为：171791 1817 911817 291 n1817 91（1 1）917 181 2181 n181（）91718111 2 2（头）（头）（例（例 2 2）的解答：喝完）的解答：喝完 1212 瓶啤酒后，用瓶啤酒后，用 1212 个瓶子可兑换个瓶子可兑换 1212瓶啤酒，用瓶啤酒，用 1212个空瓶子又可兑换个空瓶子又可兑换 122瓶啤瓶啤31 31 231酒，所以，此过程可一直持
8、续下去，直至无穷。酒，所以，此过程可一直持续下去，直至无穷。故最多能得到的啤酒为：故最多能得到的啤酒为：121212121212121231 231 n311212（1 1）31 231 n311212（）3111 1818（瓶）（瓶）上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。解法三解法三（例（例 1 1）的解答：设长子、次子、老三各分得的牛为）的解答：设长子、次子、老三各分得的牛为x、x、x，由题意可得：，由题意可得：21 31 91xxx x1717 解之得解之得 x x181821 31 91长子分得的牛为：长子分得的牛为：18189 9（头）（头）21
9、3次子分得的牛为：次子分得的牛为：18186 6（头）（头）31老三分得的牛为：老三分得的牛为：18182 2（头）（头）91（例（例 2 2）的解答：由题意，三个瓶子可兑换一瓶啤酒）的解答：由题意，三个瓶子可兑换一瓶啤酒即：三个瓶子的价值一个瓶子的价值一瓶纯啤酒的价值即：三个瓶子的价值一个瓶子的价值一瓶纯啤酒的价值22 个瓶子的价值个瓶子的价值1 1 瓶纯啤酒的价值瓶纯啤酒的价值1212 个啤酒瓶可兑换（个啤酒瓶可兑换（122122）6 6 瓶纯啤酒瓶纯啤酒故此人最多可得到的啤酒为故此人最多可得到的啤酒为 12121818（瓶）（瓶）212实际上，例实际上，例 1 1 可归结为这样的数学问题
10、：有可归结为这样的数学问题：有 x x1 1（x x 为正整数）件物品，三个人按为正整数）件物品，三个人按, , ,(a(a、b b、c c 为正整数为正整数) )来来a1 b1 c1分配，这种分法满足：分配，这种分法满足：x x1(1(、均为正整数均为正整数) )。由此可知：。由此可知：a a、b b、c c 为为 x x 的正约数，分得的数目的正约数，分得的数目ax bx cx ax bx cxl l，m m，n n也是也是 x x 的正约数。我们可把此式推广为：的正约数。我们可把此式推广为：x x1(,a1(,a、b b、c c、dd为为 x xax bx cx ax bx cx dx的
11、正约数，的正约数，x x 为正整数为正整数) )。此类题型的构造就是按照上面的讨论，找出符合条件的正整数。此类题型的构造就是按照上面的讨论，找出符合条件的正整数 x x。即先找出一个正整数。即先找出一个正整数 x x，并求出，并求出其正约数，其中的三个正约数（也可以是四个、五个等）其正约数，其中的三个正约数（也可以是四个、五个等）l l、m m、n n 满足满足 l lm mn nx x1 1，并且，并且a a，b b，c c(a(a、b b、c c 就是就是 x x 的正约数的正约数) )，所以必有，所以必有x x1 1，据此来构造出此类题型。如，据此来构造出此类题型。如 2424、1212
12、lx mx nx ax bx cx就符合讨论的条件。就符合讨论的条件。2424 的正约数为的正约数为 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、8 8、1212、2424。且。且 2 23 36 6121224241 1，1212，8 8，4 4，224 324 6242 2。1212 的正约数为的正约数为 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212。且。且 2 23 36 612121 1，6 6，4 4，2 2 。为此我们可以设计以下。为此我们可以设计以下1224 212 312 612两个习题：两个习题：习题习题 1 1：有：有 2323 个碟子，四个人来分。甲分个碟子，四个人来分。
13、甲分，乙分，乙分，丙分，丙分，丁为，丁为，问甲、乙、丙、丁各分得多少个碟子？，问甲、乙、丙、丁各分得多少个碟子？21 41 81 121习题习题 2 2：某班举行了一个别开生面的知识竞赛：决出一、二、三名各：某班举行了一个别开生面的知识竞赛：决出一、二、三名各 1 1 人，他们的奖品为人，他们的奖品为 1111 只精美的玻璃杯，一、二、只精美的玻璃杯，一、二、三名的奖品按三名的奖品按、分配，问一、二、三名的获奖者各得多少只精美的玻璃杯？分配，问一、二、三名的获奖者各得多少只精美的玻璃杯？21 41 61例例 2 2 可归结为某物品的包装兑换此物品的问题。为叙述方便，仍采用啤酒瓶兑换啤酒的说法。
14、此问题为：可归结为某物品的包装兑换此物品的问题。为叙述方便，仍采用啤酒瓶兑换啤酒的说法。此问题为：a a 个啤酒瓶个啤酒瓶可兑换可兑换 1 1 瓶啤酒，现有瓶啤酒，现有 x x 瓶啤酒，问瓶啤酒，问 x x 个空啤酒瓶可兑换多少瓶纯啤酒？由题意知：个空啤酒瓶可兑换多少瓶纯啤酒？由题意知：a a 个啤酒瓶的价值个啤酒瓶的价值1 1 瓶纯啤酒的价值瓶纯啤酒的价值1 1 个啤酒瓶的价值个啤酒瓶的价值即即 （a a1 1）个啤酒瓶的价值）个啤酒瓶的价值1 1 瓶纯啤酒的价值瓶纯啤酒的价值故故 x x 个空瓶可兑换的纯啤酒为个空瓶可兑换的纯啤酒为瓶。瓶。的值必为整数，这是设计此类题型的必须条件。的值必为
15、整数，这是设计此类题型的必须条件。1ax 1ax按一般的解题思路，到最后总会出现差按一般的解题思路，到最后总会出现差 1 1 个瓶子才能兑换个瓶子才能兑换 1 1 瓶啤酒的情况，而借一法的奇妙之处就在于提前把最后得瓶啤酒的情况，而借一法的奇妙之处就在于提前把最后得到的到的 1 1 个瓶子借出，因而出现借一还一的巧妙解法。据此我们可找出满足上面讨论条件的数组如：个瓶子借出，因而出现借一还一的巧妙解法。据此我们可找出满足上面讨论条件的数组如：x x30,a30,a6,6, 1ax5 5，又如，又如 x x24,a24,a4,4, 8 8。进而设计出以下两个习题。进而设计出以下两个习题。1630 1ax 1424 习题习题
