数学知识重点

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1、一元一次方程只含有一个只含有一个未知数未知数（即（即“元元”），并且未知数的最高次数为），并且未知数的最高次数为 1 1（即（即“次次”）的）的 整式方程整式方程叫做一元一次叫做一元一次方程方程（英文名：（英文名：linearlinear equationequation withwith oneone unknownunknown）。）。 一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是 ax+b=0ax+b=0（a a，b b 为为常数常数，x x 为未知数，且为未知数，且 a0a0）。求根公式：）。求根公

2、式：x=-b/ax=-b/a。目目 录录1 1 基本信息基本信息1.1. 1.11.1 标准标准形形式式 2.2. 1.21.2 方程特点方程特点 3.3. 1.31.3 判断方法判断方法 4.4. 1.41.4 求根公式求根公式 5.5. 1.51.5 通常解法通常解法 6.6. 1.61.6 两种类型两种类型 7.7. 1.71.7 方程举例方程举例 8.8. 1.81.8 方程起源方程起源 9.9. 1.91.9 主要用途主要用途2 2 补充说明补充说明1.1. 2.12.1 合并同类项合并同类项 2.2. 2.22.2 移项移项 3.3. 2.32.3 等式性质等式性质3 3 解法步骤

3、：解法步骤：1.1. 3.13.1 同解方程：同解方程： 2.2. 3.23.2 同解原理：同解原理： 3.3. 3.33.3 求根公式：求根公式： 4.4. 3.43.4 函数解法：函数解法： 5.5. 3.53.5 解法举例解法举例 6.6. 3.63.6 等式性质：等式性质：4 4 解应用题解应用题5 5 学习实践学习实践6 6 教学设计教学设计1.1. 6.16.1 教学目标教学目标 2.2. 6.26.2 重点及难点重点及难点 3.3. 6.36.3 过程设计过程设计 4.4. 6.46.4 教学手段教学手段 5.5. 6.56.5 教学方法教学方法 6.6. 6.66.6 教学过程

4、教学过程7 7 注意事项注意事项1 1基本信息基本信息标准形式标准形式一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是 ax+b=0ax+b=0（a a，b b 为为常数常数，x x 为未知数，且为未知数，且 a0a0）。其中）。其中 a a 是未知数的是未知数的系数系数，b b 是是 常数，常数，x x 是未知数。未知数一般设为是未知数。未知数一般设为 x x，y y，z z。方程特点方程特点（1 1）该方程为）该方程为整式方程整式方程。 （2 2）该方程有且只含有一个未知数。）该方程有且只含有一个未知数。

5、（3 3）该方程中未知数的最高次数是）该方程中未知数的最高次数是 1 1。 满足以上三点的方程，就是一元一次方程。满足以上三点的方程，就是一元一次方程。判断方法判断方法要判断一个方程是否为一要判断一个方程是否为一元元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它 进行整理。如果能整理为进行整理。如果能整理为 ax+b=0ax+b=0（a0a0）的形式，则这个方程就为一元一次方）的形式，则这个方程就为一元一次方 程。里面要有等号，且分母里不含未知数。程。里面要有等号，且分母里不含未知数。 变形公式变形公式 ax=bax=b（a a，b b 为为常数常数，

6、x x 为未知数，且为未知数，且 a0a0）求根公式求根公式通常解法通常解法去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为 1 1。两种类型两种类型（1 1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如： x+2x+3x=6x+2x+3x=6。 （2 2）等式两边都含未知数。如：）等式两边都含未知数。如：300x+400=400x300x+400=400x，40x+20=60x40x+20=60x11。方程举例方程举例2a=4a-62a=4a-6 3b=-13b=-1 x=1x=1 都是一元一次方

7、程。都是一元一次方程。方程起源方程起源“方程方程”一词来源于中国古算术书一词来源于中国古算术书九章九章算算术术。在这本著作中，已经列出了。在这本著作中，已经列出了 一元一次方程。法国数学家一元一次方程。法国数学家笛卡尔笛卡尔把未知数和常数通过把未知数和常数通过代数运算代数运算所组成的方程所组成的方程 称为称为代数方程代数方程。在。在 1919 世纪以前，方程一直是世纪以前，方程一直是代数代数的核心内容。的核心内容。主要用途主要用途一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏 问题、球赛积分表问题、电话（

8、水表、电表）计费问题、数字问题等。问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等。222 2补充说明补充说明合并同类项合并同类项（1 1）依据：）依据：乘法分配律乘法分配律 （2 2）把未知数相同且其）把未知数相同且其次数次数也相同的项合并成一项；也相同的项合并成一项；常数常数计算后合并成一项计算后合并成一项 （3 3）合并时次数不变，只是）合并时次数不变，只是系数系数相加减。相加减。移项移项（1 1）依据：等式的性质）依据：等式的性质 1 1 （2 2）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。 （3 3）把方

9、程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：移项移项时将时将+ +改为改为- -，改改 为为）。）。等式性质等式性质等式等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式整式，等式仍，等式仍 然成立。然成立。 等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0 0 除外），等式仍然成除外），等式仍然成 立。立。 等式的性质三：等式两边同时等式的性质三：等式两边同时乘方乘方（或（或开方开方），等式仍然成立。），等式仍然成立。 解方程解方程都是依据

10、等式的这三个都是依据等式的这三个性质性质。解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3 3解法步骤：解法步骤：一、去分母一、去分母 在方程两边都乘以各分母的在方程两边都乘以各分母的最小公倍数最小公倍数（不含分母的项也要乘）；（不含分母的项也要乘）； 依据：等式的性质依据：等式的性质 2 2 二、去括号二、去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律乘法分配律（记住如括（记住如括 号外有减号或除号的话一定要变号）号外有减号或除号的话一定要变号） 依据：乘法分配律

11、依据：乘法分配律 三、移项三、移项 把方程中含有把方程中含有未知数未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程 左边，而把常数项移到右边）左边，而把常数项移到右边） 依据：等式的性质依据：等式的性质 1 1 四、合并同类项四、合并同类项 把方程化成把方程化成 ax=bax=b（a0a0）的形式；）的形式； 依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）依据：乘法分配律（逆用乘法分配律） 五、系数化为五、系数化为 1 1 在方程两边都除以未知数的系数在方程两边都除以未知数的系数 a a，得到方程的解，得到方程的解 x=b/ax=b/a。 依据：等

12、式的性质依据：等式的性质 2.2.同解方程：同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程同解方程。同解原理：同解原理：（1 1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方 程。程。 （2 2）方程的两边同乘或同除同一个不为）方程的两边同乘或同除同一个不为 0 0 的数所得的方程与原方程是同解方程。的数所得的方程与原方程是同解方程。求根公式：求根公式：由于一元一次方程是由于一元一次方程是基本方程基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。，故教科书上的解法只

13、有上述的方法。 但对于标准形式下的一元一次方程：但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0ax+b=0 (a0)(a0)。 可得出求根公式可得出求根公式 。函数解法：函数解法：由于一元一次函数都可以转化为由于一元一次函数都可以转化为 ax+b=0ax+b=0（a a，b b 为常量，为常量，a0a0）的形式，所以解）的形式，所以解 一元一次方程就可以转化为：一元一次方程就可以转化为： 当某一个函数值为当某一个函数值为 0 0 时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直 线线 y=kx+by=kx+b（k k，b b 为常量，为常量，k

14、0k0）与）与 x x 轴交点的横坐标的值。轴交点的横坐标的值。解法举例解法举例（1 1）题目：已知）题目：已知 ax=bax=b 是关于是关于 x x 的方程（的方程（a a、b b 为常数），求为常数），求 x x 的值。的值。 分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。 解：当解：当 a0a0 时，时， 。 当当 a=0a=0，b=0b=0 时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属 于恒等方程）于恒等方程） 当当 a=0a=0，b0b0 时，方程无解（注意

15、：此种情况也不属于一元一次方程）时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程） （2 2）题目：解方程）题目：解方程 分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。 解：去解：去分母分母，得，得去括号去括号，得，得移项移项，得，得合并同类项合并同类项，得，得系数化为系数化为 1 1，得，得检验：把检验：把 代入原方程代入原方程 左边左边= = 右边右边= = 左边左边= =右边右边 是原方程的解是原方程的解等式性质：等式性质：若若 a=ba=b，则，则 a+c=b+ca+c=b+c，a-c=b-ca-c=b-c（等式的性质（

16、等式的性质 1 1）。）。 若若 a=ba=b，则，则 ac=bcac=bc，ac=bcac=bc (c0)(c0) （等式的性质（等式的性质 2 2）334 4解应用题解应用题做一元一次方程做一元一次方程应用题应用题的重要方法：的重要方法： （1 1）认真）认真审题审题（审题）（审题） （2 2）分析已知和未知量）分析已知和未知量 （3 3）找一个合适的）找一个合适的等量关系等量关系 （4 4）设一个恰当的未知数）设一个恰当的未知数 （5 5）列出合理的方程）列出合理的方程 （列式）（列式） （6 6）解出方程（解题）解出方程（解题） （7 7）检验检验 （8 8）写出答案（作答）写出答案（作答）5 5学习实践学习实践在小学会学习较浅的一元一次方程，