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1、1 静电场 1.1 电荷及其相互作用电荷及其相互作用 电荷 库伦定律1 2 12122 01214q qFrrr ，0真空静电常量，12 r为单位方向矢量 注注：线性叠加，静止条件使用（施力电荷静止，受力电荷可静可动） 1.2 电场强度电场强度 E 点电荷：3 01 4qErr 电偶极子 pql，电偶极矩电偶极矩，l负电荷指向正电荷 均匀带电圆环轴线上电场强度,R Q： 3/222 04xQxEE xR 细棒中垂线电场强度2 , l Q：22 04xQEE x xl 1.3 电通量和高斯定理电通量和高斯定理 电场高斯定理：01ine SSE dSq， （有源） 注注：(1)高斯定理与库伦定律平
2、方反比律有密切关系（1 2 12122 01214q qFrrr ，精确为 0） ； (2)外部电荷对场强有贡献，但对电通量没有贡献； 延长线：3 012 4pEr中垂线：3 01 4pEr rl守恒：不生不灭 量子性：e 的整数倍 (3)可用于场强计算，但强烈要求对称性。 均匀带电球壳场强,R Q（球对称） ：2 01,4 0 ,QrRrE rR 无限长均匀带电棒（轴对称） ：02Er ，电荷线密度 无限大均匀带电平面（面对称） ：02E ，电荷面密度 1.4 静电场环路定理静电场环路定理 120 LLLE dlE dlE dl环路积分为 0路径无关性 1.5 电势（电势（U=0） pppU
3、UUE dl-满足线性叠加原理 UEUnn 点电荷电势分布：04p pqUr 带电球壳,R q：00,4,4qrRrUpqrRR 电偶极子（远场） ：3 0,4pp rUrlr 1.6 静电场基本微分方程静电场基本微分方程 积分形式 微分形式PossionLaplace0 0220/,0,0EUEUUE 00110inSVSLE dSqdVE dl 有源 无旋 例例 1.1 如图 1.2，两个相同球体相交，交叠处不带电，非交叠处各自均匀带有异号体电荷，试证：交叠区为匀强场区。 证明证明：补偿法：可视左球均匀带电Q，右球均匀带电Q，交叠区内场强为 12111212333223EEE QQQEkr
4、EkrrkRconstRRR QEkrR 例例 1.2 如图 1.3， 水平地面 P 处有一固定点电荷， P 的正上方 2H 处有一带电小球S，以某一初速度（记为 v0）竖直上抛，而后小球在离地面高 3H 处到离地 H 处之间往返运动。不计空气阻力，试求： (1)S 上抛的初始速度 v0； (2)S 在而后的往返运动的过程中达到的最大速度 vmax？ 解解：(1)3H 处自由下落到 H 处停下，能量守恒关系 2001133434qQqQmgHHmgHHHQ：P 的电量，,m q：S 的质量和电量， （Q和q同号） 关于0v的能量式为 2 00 0111 2432qQmvmgHvgHHH(2)力
5、平衡高度设为h，有 2 034qQmghHh 所求maxv即为h处速度，有 2 max 01113243qQmgHhmvhHmax2 2362vgHgH 1.7 静电平衡导体静电平衡导体 静电平衡条件：in0E 静电平衡导体性质 (1)导体为等势体，表面为等势面； (2)导体内部不存在宏观体电荷，电荷只分布在表面上； (3)表面外附近场强方向与导体表面垂直，场强大小与表面电荷密度成正比，,0/S outE. 例例 1.3 4 块面积均为 S 的相同导体平板， 以相同的间距 d 平行放置如图 1.4 连结。静电平衡后，试求各导体板两侧表面电荷量。 解解： 静电平衡后， 各板内场强为 0，利用图中
6、虚线框所示高斯面， 可知板1右侧面电荷与板2左侧面电荷等量异号，故分别记为1Q与1Q。同理，标记出2Q与2Q，以及3Q与3Q，再将板 1 左侧的面电荷记为1Q左，板 4右侧的面电荷记为4Q右. (1)首先证明1400QQ左右， 因 112233QQQQQQ， ， ，对各板板内场强贡献为 0，便要求14QQ左右，对各板板内场强贡献也为零，即得 14QQ左右 又由电荷守恒有 1123 14 1234000QQQQQQQQQQ左 左右 右联立解得140QQ左右(2) 123,Q Q Q的求解 由(1)得1230QQQ 因板 1、3 等势，可得12 12 00QQddQQSS 因板 2 到板 4 的电
7、势降为U，得230 23 00QQSUddUQQSSd 联立求解可得000 123112,333SUSUSUQQQddd 1.8 电容和电容器电容和电容器 孤立电容：QQCUUU 电容器：/CQU 平行板电容器：0SCd， 球形：04ABBAR RCRR， 同轴柱形：02ln/BALCRR 电容器串并联 串联：1/1/i iCC，并联：i iCC 1.9 电介质、极化电介质、极化 极化类型：位移极化、取向极化 极化强度矢量极化强度矢量：in1VPpV分子 极化总场强极化总场强：0EEE，E：极化场强 极化规律极化规律 in, SSP dSqPP n ，线性0ePE ，e电极化率 电介质存在时的
8、静电场 (1)电位移矢量电位移矢量：0001erDEPEE ，r相对介电常量（相对电容率） (2)电介质存在时的静电场微分方程infree electron000SSLrD dSqE dlDE 边界条件 121212120,0,nnttDDnDDEEnEE 平行板： 000000/1,rrerDEDCCC 例例 1.4 水平放置的平行板电容器，一块极板在液面上方，另一块极板浸没在液面下，如图 1.5 所示。液体的相对介电常数为r，密度为。传给电容器极板电荷面密度后，电容器中的液面可能升高多少？ 解解：空气中有00/E 水中，总场强00/rrEE 极化电荷场强0 00111rrrEEE 极化电荷
9、面密度01rrE 水面S 0000011 222rrrrE h高度水块受力平衡 222 2 SS22 0001111 222rrrrrrrrShgESghEhg 1.10 静电能静电能 静电能：带电体系的形成需要克服电力做功，相应的能量转换使带电体系具有静电势能静电势能。静电势能储存在同时产生的静电场中，它就是静电场的能量，统称静电能静电能。 带电体系（含若干带电体）总静电能eW=各带电体相互作用能W互+带电自能W自 点电荷系 iq互能（离散集中带电体系静电能） 011,24j iiiji ij ij ijiqWqU UUr互iU：除iq外其余各点电荷在iq的位置处产生的电势 注注：点电荷自能
10、有奇性 连续带电体静电能 无限分割ieiqV，e体电荷密度 max011 22iVeeiieeViWV UWr U r dV其中 01 4eVr dVU rrr 注注：上式中eW不仅是互能，也包含自能，为总静电能 利用 Possion 方程20eU ，代入分部积分有 222000 222EUeeVVVWUUdVU dVWE dV 注注：由之上推导可以看出静电能有两种表示形式，其在计算上是完全相同的，但在物理观念上却有原则性差别， 前者可解释为电荷的能量， 电荷是能量的承载者，它突出了电荷之间的库仑力，这是超距作用的观点；而后者可解释为静电场的总能量，电场是能量的承载者（其中电场能量是定域在有场
11、的空间中） ，是场的观点。这两种表示对静电能的两种不同解释只能看作两种不同的观念，但在研究时变电磁场时，电磁场可以脱离电荷、电流而独立传播，电磁场时具有能量的。因此，静电能是定域在有场空间中的，静电能是电场能量的观念才是正确的。 电容器储能：2 2111 222eQWQUCUC 有电介质静电场能量：1,2eeeVWw dV wD E例例 1.5 均匀带电球体,R Q总静电能（静电自能） 。 解解：法一（超距观点） ：22 3 0 303,8,4/ 4 ,3eQRrrRQRU RQrrR 222 300111342228ReeeeVVQWUdVUdVRrr drR22003 520eQRQ R 法二（场观点） ：3 02 0,4,4QrrRREQrRr 2222200 32000442244ReVRQrQWE dVr drr drRr203 20Q R
