《概率论与数理统计课堂笔记》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课堂笔记（165页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性， 它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的 统计方法，进行统计推断。概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率 分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章， 数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。预备知识（一）加法原则（一）加法原则引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、 晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有 3 种；第二类坐飞机，若北京 到上海的飞机
2、有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有 多少种。【答疑编号：10000101 针对该题提问】解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共 5 种。它是由第 一类的 3 种方法与第二类的 2 种方法相加而成。一般地有下面的加法原则：办一件事，有 m 类办法，其中：第一类办法中有 n1种方法；第二类办法中有 n2种方法；第 m 类办法中有 nm种方法；则办这件事共有种方法。（二）乘法原则（二）乘法原则引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问
3、从北京经天津到上海的交通方法有多少种？【答疑编号：10000102 针对该题提问】解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共 6 种， 它是由第一步由北京到天津的 3 种方法与第二步由天津到上海的 2 种方法相乘 32=6 生成。一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分 m 个步骤进行，其中：第一步骤的方法有 n1种；第二步骤的方法有 n2种；第 m 步骤的方法有 nm种；则办这件事共有种方法。 （三）排列（数）：（三）排列（数）：从 n 个不同的元素中，任取其中 m 个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。 2排列数的计算公式为
4、：例如：（四）组合（数）：（四）组合（数）：从 n 个不同的元素中任取 m 个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。组合数的计算公式为例如：=45组合数有性质 （1）， （2） ， （3）例如：例一，袋中有 8 个球，从中任取 3 个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103 针对该题提问】解：任取出三个球与所取 3 个球顺序无关，故方法数为组合数（种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）从中任取 3 件，求所取 3 件中有 2 件正品 1 件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104 针对该题提问】解：第一步在 5 件正品中取 2 件，取法有（种）第二步在 3 件次品
5、中取 1 件，取法有（种）由乘法原则，取法共有 103=30（种）第一章随机事件与随机事件的概率1.1 随机事件随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下则出现两次面向相同的事件 A 与两次面向不同的事件 B 都是可能出现，也可能不 出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：31，2，3，4，5，6则出现偶数点的事件 A，点数4 的事件 B 都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现， 即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件
6、，叫随机事 件，习惯用 A、B、C 表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是 有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用 表示必然事 件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 表示 不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，
7、简称基本事件，也叫样本 点，习惯用 表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数 1,2,3,4,5,6 分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作 ，当然 是必然事件。（三）随机事件的关系（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B 发生，就说事件 B 包含事件 A，记作。例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数2，B 表示掷出的点数3。A=1，2 ， B=1，2，3 。所以 A 发生则必然导致 B 发生。显然有（2）事件的相等：若，且就记 A=B，即 A 与 B 相等，事件 A 等于事 件 B，表示 A 与 B 实际上是同一事件。（四）事件的运算
8、（四）事件的运算 （1）和事件：事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件叫事件 A 与事件 B 的和事件， 记作：或 A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=1，2，3则和事件 A+B=1，2，3，5显然有性质若，则有 A+B=BA+A=A（2）积事件：事件 A 与事件 B 都发生的事件叫事件 A 与事件 B 的积事件，记作：AB 或 AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=1，2，3 ，则 AB=1，3显然有性质：4若，则有 AB=AAA=A（3）差事件：事件 A 发生而且事件 B 不发生的事件叫事件 A 与事件 B 的差事件，记作 （A-B）例如，掷一次骰子，A=1，3，5
9、 ；B=1，2，3 ，则 A-B=5显然有性质：若，则有 A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B 不能都发生，就说事件 A 与事件 B 互不相容 （或互斥）即 AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=2，4AB=（5）对立事件：事件 A 不发生的事件叫事件 A 的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ，则显然，对立事件有性质：注意：A 与 B 对立，则 A 与 B 互不相容，反之不一定成立。例如在考试中 A 表示考试成绩为优，B 表示考试不及格。A 与 B 互不相容，但不 对立。下面图 1.1 至图 1.6 用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方
10、形表示必然事 件或样本空间 。图 1.1 表示事件事件 A图 1.2 阴影部分表示 A+B图 1.3 阴影部分表示 AB图 1.4 阴影部分表示 A-B图 1.5 表示 A 与 B 互不相容图 1.6 阴影部分表示5事件的运算有下面的规律：（1）A+B=B+A，AB=BA 叫交换律 （2） （A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC（A+B） （A+C）=A+BC 叫分配律（4）叫对偶律例 1，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示以下事件。（1）A，B，C 三事件中，仅事件 A 发生【答疑编号：10010101 针对该题提问】（2
11、）A，B，C 三事件都发生【答疑编号：10010102 针对该题提问】（3）A，B，C 三事件都不发生【答疑编号：10010103 针对该题提问】（4）A，B，C 三事件不全发生【答疑编号：10010104 针对该题提问】（5）A，B，C 三事件只有一个发生【答疑编号：10010105 针对该题提问】（6）A，B，C 三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106 针对该题提问】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例 2.某射手射击目标三次：A1表示第 1 次射中，A2表示第 2 次射中，A3表示第 3 次射中。B0表示三次中射中 0 次，B1表示三次中射中 1 次，B
12、2表示三次中射中 2 次， B3表示三次中射中 3 次，请用 A1、A2、A3的运算来表示 B0、B1、B2、B3【答疑编号：10010107 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例 3 ，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示下列事件。6（1）A，B 都发生且 C 不发生【答疑编号：10010108 针对该题提问】（2）A 与 B 至少有一个发生而且 C 不发生【答疑编号：10010109 针对该题提问】（3）A，B，C 都发生或 A，B，C 都不发生【答疑编号：10010110 针对该题提问】（4）A，B，C 中最多有一个发生【答疑编号：10010111 针对该题提问】（
13、5）A，B，C 中恰有两个发生【答疑编号：10010112 针对该题提问】（6）A，B，C 中至少有两个发生【答疑编号：10010113 针对该题提问】（7）A，B，C 中最多有两个发生【答疑编号：10010114 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记 AB+AC+BC（7）简记例 4，若 =1，2，3，4，5，6 ；A=1，3，5 ；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑编号：10010115 针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116 针对该题提问】（3）；【答疑编号：10010117 针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010118 针对该题提问】（5）
14、；【答疑编号：10010119 针对该题提问】（6）；【答疑编号：10010120 针对该题提问】（7），【答疑编号：10010121 针对该题提问】（8）。7【答疑编号：10010122 针对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5 ；（2）AB=1，3 ；（3）=2，4，6 ；（4）=4，5，6 ；（5）=4，6 ；（6）=2，4，5，6 ；（7）=2，4，5，6 ；（8）=4，6由本例可验算对偶律，=，=正确例 5， （1）化简；【答疑编号：10010123 针对该题提问】（2）说明 AB 与是否互斥【答疑编号：10010124 针对该题提问】解：（1）（2）例 6.A，B，C 为三事
15、件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125 针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010126 针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127 针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128 针对该题提问】解：（1）ABC 表示事件 A，B，C 都发生的事件（2） 表示 A，B 都发生且 C 不发生的事件（3）AB 表示事件 A 与 B 都发生的事件，对 C 没有规定，说明 C 可发生，也可 不发生。AB 表示至少 A 与 B 都发生的事件（4）8所以也可以记 AB 表示，ABC 与 中至少有一个发生的事件。例 7.A，B，C 为三事件，说明（AB+BC+A
16、C）与是否相同。【答疑编号：10010129 针对该题提问】解：（1）表示至少 A，B 发生它表示 A，B，C 三事件中至少发生二个的事件。（2）表示 A，B，C 三事件中，仅仅事件 A 与事件 B 发生的事件表示 A，B，C 三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。1.2 随机事件的概率随机事件的概率 （一）频率：（一）频率：（1）在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发 生了 nA次，则事件 A 发生的次数 nA叫事件 A 发生的频数。（2）比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A） ，即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用 A 表示出现正面的事件： 试验人 N nA fn（A）摩根 2048 1061 0.5181蒲丰 4040 2048 0.5069皮尔逊
