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1、 - 93 - 教教 案案 时间 安排 第 13 次课/总共 24 次课 章节 名称 第四章 时变电磁场 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能 量守恒定理 教学 目的 掌握电磁场的波动方程， 理解动态矢量位和标量位的概念以及其满足的微分方程， 深刻理解坡印廷定理的物理意义并应用它分析计算电磁能量的传输。 教学 重点 与 难点 电磁场的位函数，电磁能量守恒定理。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 在时变的情况下，电场与磁场互相激励，在空间形成电磁波，电磁能量以电磁波的形式进行传播。 4.1 4.1 波动方程波动方程 麦克斯韦方程是一阶矢量微分方程组，描述了电场与磁场间的相互
2、作用关系；波动方程则为二阶矢量微分方程，揭示了电磁场的波动性。 对于线性、各向同性和均匀的媒质，麦克斯韦方程可写为 /0HtHtJH对第一个方程取旋度，得到 tEJH 利用矢量恒等式AAA2，上式变为 22 )(tHJHH2由第三方程，得到H矢量满足的波动方程 JtHH222 - 94 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 对第二个方程取旋度，有 22tE tJ tEJtHttHE 即 22 )(tE tJEE2由第四个方程，得到E矢量满足的波动方程 tJtEE 22 2在导电媒质中，EJ，0，则 tHEJ tHH2220222 tH tHH tE tJtEE222 22tE tEE2在无源
3、区，0J，0，故 0022 222 2 tHHtEE4.2 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 引入位函数来描述时变电磁场，能简化一些复杂问题的分析。（意义（意义！ ） 4.2.1 4.2.1 矢量位和标量位矢量位和标量位 因为0 B，所以可令 AB A称为电磁场的矢量（磁）位。 将上式代入tB，有 0 tA- 95 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 因此 tAE称为电磁场的标量位。 位函数的不确定性：设有两组位函数A、和/A、/满足 tAA/其中的为任意可微函数。则有 EtA tAttABAAA/因此，对给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 造成位函数不确定性的原因只规定了矢量A的旋
4、度，而未给出其散度。而适当地规定A的散度，不仅可以得到惟一的A和，而且还便于位函数的求解。 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 0tA4.2.2 4.2.2 达朗贝尔方程达朗贝尔方程 因为 tDJH，ED，BH 所以 tEJB 已知 AB，tAE故有 tA tJA利用矢量公式AAA2)(，得到 - 96 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 tAJ tAA222由洛伦兹条件0tA，上式变为 JtAA222A满足的达朗贝尔方程 又 D，tAEED， 因此 tA将0tA代入，可得 222 t满足的达朗贝尔方程 说明: 采用洛仑兹条件使矢量位A和标量位分离在两个独立的方程中，且矢量位A只 J 有
5、关，标量位只与 有关，这对求解A和特别有利。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位 A 和标量位的解也不相同，但最终得到的电磁场矢量是相同的。 4.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 4.3.1 4.3.1 坡印廷定理坡印廷定理 由麦克斯韦方程组的前两个方程可得 tBtDJH tBHHtDJH 将两式相减，得到 tBHtDJHH在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有 - 97 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 )21()( 21Dtt ttD )21()( 21BHttHH tHHtBH 再利用矢量恒等式： BAABBA
6、即可得到坡印廷定理的微分形式 JBHDtH 21 21)( 在任意闭曲面 S 所包围的体积 V 上对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 VVSVVtdd)21 21(ddd)(JEBHDESHE这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理坡印廷定理。式中 VVtd)21 21(ddBHDE在单位时间内体积 V 中所增加的电磁能量。 VVdJE单位时间内电场对体积 V 中的电流所作的功；对导电媒质，即为体积 V 内总的损耗功率。 SSHEd)(单位时间内通过曲面 S 进入体积 V 的电磁功率。 物理意义：在单位时间内，通过曲面 S 进入体积 V 的电磁能量等于体积 V 中所增加
7、的电磁场能量与损耗的能量之和能量守恒！能量守恒！。 4.3.2 4.3.2 坡印廷矢量（坡印廷矢量（电磁能流密度矢量电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量。 定义：HS 物理意义： S的方向 电磁能量传输的方向。 S的大小 通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率。 例 4.3.1 同轴线的内导体半径为 a 、 外导体的内半径为 b， 其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为 U ，导体中流过的电流为 I 。 （1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率； （2）当导体的电导率 为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。 - 98 -
8、教 学 内 容 与 过 程 设 计 解:（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定律和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为 )/lnabUeE ，2IeH 内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量 2)/ln(22)/ln(abUIeIeabUeHESz 电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如下图所示。 穿过任意横截面的功率为 UIdabUIdSeSPbaSz2)/ln(22这一结果与电路分析的一致。可见，同轴线传输的功率是通过内外导体间的电磁场传递到负载，而
9、不是经过导体内部传递的。 （2）当导体的电导率 为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场 2aIeJEz内 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 az azEE 内外。因此，在内导体表面外侧的电场为 2)/ln(aIeaabUeEz a 外 磁场则是 - 99 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 aIeH a 2 外 故内导体表面外侧的坡印廷矢量为 2322)/ln(22aabUIe aIeHESzaa外外外 由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如下图所示。进入每单位长度内导体的功率为 2 2210322 22)(|RIaIadzaIdSeSP S
10、a外式中 21aR 是单位长度内导体的电阻。显然，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明，电磁能量是通过电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。 教 学 后 记 * 由于我们主要关注时变电磁场，因此第四章的内容非常重要，尤其是 坡印廷定理电磁场的能量守恒定理，不论是推导思路，还是实际意义 都是引人入胜的，要求学生特别重视！ - 100 - 教教 案案 时间 安排 第 14 次课/总共 24 次课 章节 名称 第四章 时变电磁场 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场（） 教学 目
11、的 深刻理解惟一性定理的意义；掌握正弦电磁场的复数表示方法及其意义，掌握复数形式的麦克斯韦方程和波动方程，了解有耗媒质特性的描述参数。 教学 重点 与 难点 复数形式的麦克斯韦方程。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 4. 4 4. 4 惟一性定理惟一性定理 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述: : （不作证明！ ！ ）（不作证明！ ！ ） 在以闭曲面S为边界的有界区域内V， 如果给定 t0 时刻的电场强
12、度和磁场强度的初始值，并且在0t时，给定边界面 S 上的电场强度的切向分量或或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域 V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 4. 5 4. 5 时谐电磁场时谐电磁场 时谐电磁场的概念: 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 - 101 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 研究时谐电磁场具有重要意义: 工程中应用最多的就是时谐电磁场，如广播、电视和通信的载波。 任意时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。 4.5.4.5.1 1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场采用复数方法表示可以简化问题的分析。 设 tru ,是一个以角频率随时间 t 作正弦变化的标量函数，其瞬时表示式为 rtrutruumcos, 式中 rum为振幅，它仅是空间坐标的函数，为角频率， ru是与时间无关的初相位。 利用复数取实部的表示方法，可推得 ru
