《1999年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1999年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 21 页19991999 年全国硕士研究生入学统一考试真题卷年全国硕士研究生入学统一考试真题卷数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题(本题共本题共5个小题，每小题个小题，每小题3分，满分分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。分。把正确答案填写在题中横线上。)(1) 2011limtanxxxx(2) 20sin()xdxt dtdx(3) 的通解为 2“ 4xyyey (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的个特征值是 n (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件： 1, ( )( )( ),2ABCP AP BP C9(),16P AB
2、C则 ( )P A 二、选择题二、选择题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目 要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设是连续函数，是的原函数，则 ( )( )f x( )F x( )f x(A) 当是奇函数时，必是偶函数。( )f x( )F x(B) 当是偶函数时，必是奇函数。( )f x( )F x(C) 当是周期函数时，必是周期函数。( )f x( )F x(D) 当是单调增函数时，必是单调增函数。( )f x( )
3、F x(2)设其中是有界函数，则在处 ( ) 21 cos,0( )( ),0xxf xxx g x x ( )g x( )f x0x (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设其中011,02( ), ( )cos,1222 ,12n nxxaf xS xan xx xx 则等于 ( )102( )cos,(0,1,2,),naf xn xdx n5 2S(A) (B) (C) (D)1 21 23 43 4(4)设A 是矩阵， B 是矩阵，则 ( )m nn m第 2 页 共 21 页(A)当时，必有行列式 (B)当时，必有行列式mnAB0mnA
4、B0(C)当时，必有行列式 (D)当时，必有行列式nmAB0nmAB0(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N和N，则 ( )(0,1)(1,1)(A) (B) 10.2P XY1P X+Y1.2(C) (D) 1P X-Y0.21P X-Y1.2三、三、(本题满分本题满分5分分) 设，是由方程和=0所确定的函数，其中和分别( )yy x( )zz x()zxf xy( , , )F x y zfF具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。dz dx四、四、(本题满分本题满分5分分)求其中a,b 为正常数， L 为从点A沿曲线sin()cos,xxLIeyb xy dxeyax
5、dy2a,0到点O的弧.2y= 2-ax x(0,0)第 3 页 共 21 页五、五、 (本题满分本题满分6分分)设函数二阶可导，且，.过曲线上任意一点作 0y xx 0yx 01y yy x,P x y 该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以xx1S0, x 为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为 1，求此曲线的方程. yy x2S122SS yy x六、六、(本题满分本题满分6分分)试证：当时，0x 221 ln1 .xxx第 4 页 共 21 页七、七、(本题满分本题满分6分分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30
6、m,抓斗自重, 缆绳每米重 ，抓斗抓30m400N50N 起的污泥重，提升速度为,在提升过程中，污泥以2000N3/m s20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：其中分别表示111 ;NmJ, ,m N s J 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)八、八、(本题满分本题满分7分分)设S 为椭球面的上半部分，点PS,为S 在点P 处的切平面，22 2122xyz( , , )x y z为点O到平面的距离，求( , , )x y z(0,0,0).( , , )SzdSx y z第 5 页 共 21
7、页九、九、(本题满分本题满分7分分)设4 0tan,n naxdx (1) 求的值；2 11nn naan (2) 试证：对任意的常数0, 级数收敛1nna n十、十、(本题满分本题满分8分分)设矩阵其行列式又A 的伴随矩阵有一个特征值，属于153,10acAbca 1,A *A0的一个特征向量为求和的值.0( 1, 1,1) ,T , ,a b c0第 6 页 共 21 页十一、十一、(本题满分本题满分6分分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵TBTB AB 的充分必要条件是B的秩. r Bn十二、十二、(本题满分本题满分8分分)设随机变量X 与
8、Y 相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X 和关于Y 的X,Y边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y3yiiP Xxp1x1 82x1 8 jjP Yyp1 61第 7 页 共 21 页十三、十三、(本题满分本题满分6分分) 设总体X 的概率密度为36(),0( ) 0, xxxf x 其他是取自总体X 的简单随机样本.12,nXXX(1) 求的矩估计量$(2) 求的方差$ .D第 8 页 共 21 页19991999 年全国硕士研究生入学统一考试真题卷年全国硕士研究生入学统一考试真题卷数学数学( (一一) )试题参考答案及解析试题参考答案及解析一、填空
9、题一、填空题(本题共本题共5个小题，每小题个小题，每小题3分，满分分，满分15分分.把正确答案填写在题中横线上把正确答案填写在题中横线上.)(1)【答案】1.3【分析】利用的等价变换和洛必达法则求函数极限.0x 【详解】方法方法1：22300011tantanlimlimtanlimtantanxxxxxxxxxxxxxxx:220sec1lim3xx x洛220tanlim3xx x2201tanlim33xxxxx:方法方法2：222000111cossincoslimlimlimtansinsinxxxxxxx xxxxxxxx3200sincoscoscossinsinlimlim3x
10、xxxxxxxxxxxx:洛 0sin1lim33xx x(2)【答案】2sin x【分析】欲求，唯一的办法是作变换，使含有中的“转移”到之外( , )badx t dtdx( , )x tx【详解】令，则，所以有uxtdtdu 0220sin()sinxxddxt dtu dudxdx220sinsinxdu duxdx(3)【答案】其中为任意常数.22 121,4xxyC eCx e12,C C【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程的特征方程为：解得，故“ 40yy240,122,2 的通解为“ 40yy22 112,xxyC eC e由于非齐
11、次项为因此原方程的特解可设为代入原方程可求得，故2( ),xf xe*2,xyAxe1 4A 所求通解为*22 1121 4xxyyyC eCx e(4)【详解】因为第 9 页 共 21 页(对应元素相减) EA11.1 11 .1 . 11.1 两边取行列式，11.1 11 .1 . 11.1EA 1.121 .1.11.1nnnn把第，列加到第列11.1 111 .1(). 11.1n 提取第列的公因子2111 .10.031().00.1nnL行行行行行行-1()nn令，得，故矩阵A的n个特征值是n和-1()0nEAn12(10(1)nn重)，重)0(重)( -1)n(5)【答案】1 4
12、【详解】根据加法公式有()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ACP ABP BCP ABCUU因为，设( )( )( )P AP BP C( )( )( )P AP BP Cp由于两两相互独立，所以有, ,A B C，2()( ) ( )P ABP A P Bppp，2()( ) ( )P ACP A P Cppp，2()( ) ( )P BCP B P Cppp又由于，因此有ABC ()()0,P ABCP 所以 ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ACP ABP BCP ABCUU2220pppppp233pp又，从而，则有
13、9()16P ABC UU29()3316P ABCppUU2933016pp，解得 23016pp31 44p 或p因，故 ，即1( )( )( )2P AP BP Cp1 4p 1( )4P A 第 10 页 共 21 页二、选择题二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是( )f x( )F x 0( )( ),xF xf t dtC00()( )().utxxFxf t dtCfu duC当为奇函数时，从而有( )f x()( )fuf u 00()( )( )( )xxFxf u duCf t dtCF x即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；2( )f xx31( )13F xx是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；2( )cosf xx11( )sin224F xxx在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调( )f xx(,) 21( )2F xx(,) 增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在
