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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析 1212：解三角形考：解三角形考点透析点透析【考点聚焦考点聚焦】考点考点 1：正弦定理、余弦定理、勾股定理：正弦定理、余弦定理、勾股定理考点考点 2：面积公式、内角和定理：面积公式、内角和定理【考点小测考点小测】1.（全国卷（全国卷）在中，已知，给出以下四个论断： BABCCBAsin2tan 1cottanBA2sinsin0BA1cossin22BACBA222sincoscos其中正确的是（A）（B）（C）（D）2.（全国卷（全国卷）锐角三角形的内角 A 、B 满足 tan A - = tan B,则有 A2sin
2、1（A）sin 2A cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 3.（江西卷）（江西卷）在OAB 中，O 为坐标原点，则当2, 0(),1 ,(sin),cos, 1 (BAOAB 的面积达最大值时，（ D ） A B C6 4 3D24.ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列，B=30，ABC 的面积为，那么 b=（ ）23ABCD23131 232325.（湖北卷）（湖北卷）若的内角满足，则ABCDA2sin23A =sincosAA+=A. B
3、 C D15 315 3-5 35 3-解：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinAcosA0，又，故选 A25(sincos)1 sin23AAA 6.（福建卷）（福建卷）在ABC 中，C=90，则 k 的值是（ D ）) ), ,3 3, ,2 2( (A AC C) ), ,1 1, ,k k( (A AB B= = =A5B5CD 23 237.（全国卷（全国卷）的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，ABC，则实数 m = 1 )(OCOBOAmOH【典型考例】【问题问题 1】三角形内角和定理的灵活运用三角形内角和定理的灵活运用例 1 （2005
4、湖南卷）湖南卷）已知在ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C 的大小.解法一 由0sin)cos(sinsinCBBA得. 0)sin(cossinsinsinBABABA所以. 0sincoscossincossinsinsinBABABABA即. 0)cos(sinsinAAB因为所以，从而), 0(B0sinB.sincosAA 由知 从而.), 0(A.4A43CB由. 0)43(2cossin02cossinBBCB得即. 0cossin2sin. 02sinsinBBBBB亦即由此得所以.125,3,21cosCBB,4A.125
5、,3CB解法二：由).223sin(2cossin02cossinCCBCB得由、，所以即B0c.22223CBCB或.22232BCCB或由得 0sin)cos(sinsinCBBA. 0)sin(cossinsinsinBABABA所以. 0sincoscossincossinsinsinBABABABA即 因为，所以. 0)cos(sinsinAAB0sinB.sincosAA 由从而，知 B+2C=不合要求.4), 0(AA知43CB23再由，得 所以212 BC.125,3CB,4A.125,3CB例例 22007 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 17 题，文科数学第 1
6、8 题已知锐角三角形 ABC 中，.51)sin(,53)sin(BABA（）求证：； （）设 AB=3，求 AB 边上的高.BAtan2tan解：（）证明：,51)sin(,53)sin(BABAQ. 2tantan51sincos,52cossin.51sincoscossin,53sincoscossin BABABABABABABA所以.tan2tanBA （）解：，BA2Q,43)tan(,53)sin(BABA即 ，将代入上式并整理得43 tantan1tantan BABABAtan2tan. 01tan4tan22BB解得，舍去负值得，262tanB262tanB设 AB 边上
7、的高为 CD.则 AB=AD+DB=. 62tan2tanBA.623 tantanCD BCD ACD由 AB=3，得 CD=2+. 所以 AB 边上的高等于 2+.66【问题问题 2】正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用例例 3：在中，求的值和的面积.ABCsincosAA2 2AC 2AB 3tan AABC解法一： ，又21)45cos(22)45cos(2cossinooQAAAA0180ooA4560 ,10513tantan(4560 )2313AAA ooooosinsinsin()sincoscossinA 10545604560456
8、026 4oooooooSACABAABC1 21 22326 43 426sin()例 4 （2007 年湖北文分）在ABC 中，已知，求ABC 的面积.63,31cos, 3tanACCB解本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法 1：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，.21cos,23sin,60, 3tanBBBBo得由.应用正弦定理得又,322cos1sin2CC8232263 sinsinBCbc.32 63 332 21 31 23sincoscossin)sin(sinCBCBCBA故所求面积
9、. 3826sin21AbcSABC解法 3：同解法 1 可得 c=8. 又由余弦定理可得. 64, 364, 32321236330sinsinsinsin,sinsin.12030,900 ,60. 64,64. 0108,21826454,cos222122222aaBbABbaBb AaACBaaaaaaBaccab故舍去而得由所得即ooooooQ故所求面积. 3826sin21BacSABC例 5 （2005 年湖北理） 在ABC 中，已知边上的中线ACBAB,66cos,364BD=，求 sinA 的值.5解本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变
10、形的技能和运算能力.解法 1：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 DE=,362 21xBEAB设在BDE 中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，,66 36223852xx),(37, 1舍去解得xx,328cos2, 2222BBCABBCABACBC从而故.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法 2：以 B 为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点 A 位于第一象限.xBC为).(314, 2. 5)352()634(|).352,634(),0 ,(),354,34()sin364,co
11、s364(,630sin22舍去从而由条件得则设则由xxxBDxBDxBCBBBAB),354,32(CA故.1470cos1sin,14143980 94 980 916980 98|cos2 AACABACABAA于是解法 3：过 A 作 AHBC 交 BC 于 H，延长 BD 到 P 使 BD=DP，连接 AP、PC，过 P 作 PNBC 交 BC 的延长线于 N，则 HB=ABcosB=,354,34AH.1470sin,6303212sin2.3212,32, 2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得
12、而【问题问题 3】向量与解三角形向量与解三角形例例 6 （2004 年湖北高考数学理工第 19 题，文史第 19 题，本小题满分 12 分）如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.CQBP21 （2004 年湖北高考数学理工第 19 题，文史第 19 题）本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分 12 分.)()(,. 0,:ACAQABAPCQBPACAQCQABAPBPAQAPACABACABQQ解法一.cos2121)(222222aaBCPQaB
13、CPQaACABAPaAPABACAPaACABAQABACAPAQAP. 0.,)(0, 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.)()()().2,2(),(),(),().,(),(.| ,2|), 0(),0 ,(),0 , 0(,|22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设. 0,)(0, 1cos.cos.cos. |cos2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQaa
14、CQBPabycxabycxBCPQBCPQ Q课后训练：1 （2006全国）在,求（1）2 545 ,10,cos5ABCBACC中，?BC (2)若点DAB是的中点，求中线C D 的长度。2 （2006 年上海）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10o海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1）？o解CAB0解：由题意可得120.5 分22022BC= ACAB2AC ABcos120= 10201020=10 7+-+8 分0 0010 72021= sin(30 )=sin120sin(30 )7aa-
