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1、数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 20曲线轨迹的探求100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是 通过方程，研究平面曲线的性质从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重 点和热点也就不足为奇了 探求动点的轨迹，主要有以下方法： （1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结 论 （2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论 （3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程范例选讲
2、范例选讲例 1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双5 2曲线上动点 P 到点 A（2，0）的最近距离为 1 （）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在 y 轴上； （）求此双曲线的方程；（）设此双曲线的左右焦点分别是，Q 是双曲线右支上的动点，过12,F F作的平分线的垂线，求垂足 M 的轨迹1F12FQF讲解讲解：（）可考虑反证法证明：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为 ，则由abcc a，得，所以，5 22225 4ab a1 2b a假设存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为2yx 在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然后把用
3、表示，利用的最小值为 1，推出矛2240yxm mPAmPA盾而另一方面，是否有更简捷的办法呢？由于在前面的解答过程中已经求出 了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点 A 到渐近线的距离大于 1” 经过验证，猜想正确（事实上，点 A（2，0）到渐近线的距离为）所以双曲线上动点到点 A 的距离都超过 1所以，不存在满足415d 条件且焦点在 y 轴上的双曲线（）解：由（）可设双曲线的方程为：，2222104xybbb则这个双曲线上任一点到点的距离为：,P x y2,0A22222225842444455xPAxyxxbxb，(, 2 2 ,)xbb 若，则当时，有最小值，由，解得825b 8
4、5x PA2 min415PAb（舍去）；21 5b 若，则当时，有825b 2xbPA最小值，由，解得min221PAb；31 22b 或（舍去）双曲线的方程为：224199xy（）解：设点 M 的坐标为（x，y），延长与交于点 T，2QF1FM连接 OM QM 平分，且 QM12FQF，1FM ，1QFQT1FMMT又点 Q 是双曲线右支上的动点， 1222QFQFQTQFa ，22F Ta ，OMa即点 M 在以 O 为圆心，为半径的圆上a 当点 Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， 点 M 的轨迹是圆弧 CBD，除去点 C,点 D.方程为：226 5935xy
5、x点评点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法例 2如图，过点 A（1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C：y2=4x 交 于 P，Q 两点. （I）若曲线 C 的焦点 F 与 P，Q，R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR，求点 R 的轨迹方程； （II）设 P，Q 两点只在第一象限运动， （0，8）点与线段 PQ 中点的连线交 x 轴于 点 N，当点 N 在 A 点右侧时，求 k 的取值范围.讲解讲解：（I）要求点 R 的轨迹方程，注意到 点 R 的运动是由直线 l 的运动所引起的，因此可 以探求点 R 的横、纵坐标与直线 l 的斜率 k 的关 系 然而，
6、点 R 与直线 l 并无直接联系与 l 有直接联系的是点 P、Q，通过平 行四边形将 P、Q、R 这三点联系起来就成为解题的关键由已知，代入抛物线 C：y2=4x 的方程，消 x 得：:(1)lyk x204kyyk 、QClP直线交抛物线于两点 204 10kk 解得1001kk 或设，M 是 PQ 的中点，则由韦达定理可知：1122(,),(,), ( , )P x yQ xyR x y122,2Myyyk将其代入直线 l的方程，得2212MMxkyk 四边形 PFQR 是平行四边形， 中点也是中点.RFPQM242342MFMxxxkyyk 又 ( 1,0)(0,1)k Q (1,)Mx
7、 点 R 的轨迹方程为. 1),3(42xxy（II）因为 P、在第一象限，所以，结合Q12100yyy2且y0k （I）得，) 1 , 0(k点（0，8）与 PQ 中点所在直线方程为令 y=0,得 N 点横828222 xkkky坐标为：2248 4Nkxkk因为 N 在点 A 右侧，令，得解之得 k0 或 1Nx 224814k kk . 841 k 综合，得 k 的取值范围是 . 141 k点评点评：选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关 键本题中的中点 M 就起到这样的作用实际上，转移点法中的“转移”，参 数法中的“参数”都表达了同样的意思高考真题高考真题1.（1995
8、 年全国高考题）已知椭圆，直线P22xy12416x:1128ylOPQRxy l是 上一点，射线 OP 交椭圆于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足l |OQ|OP|=|OR|2当点 P 在直线 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并说明 轨迹是什么曲线.2.（1999 年全国高考题）如图，给出定点和直线是直线 上的动00 ,aaABxl. 1:l点，的角平分线交于点求点的BOAABCC 轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的a 关系3（2001 年上海春季高考）已知椭圆的C方程为，点的坐标满足122 2yx),(baP过点的直线 与椭圆交于、122 2baPlA两点，点为线段的中点，求：BQAB（1）点的轨迹方程；Q （2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数Q答案与提示：12211155 23xy； 2； 3(1) ,0,0x y 2212100a xaxa yxa 点 Q 的轨迹方程为； （2）略02222byaxyx
