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1、数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 19二次曲线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标 的问题(两圆的交点除外)” 但是，在解答某些问题时（如 1990 年全国理科 25 题），难 免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后， 得到的方程的判别式与交点个数不等价其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和 研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往 显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解
2、题步骤范例选讲范例选讲例 1讨论圆与抛物线的位置关系22 1:1Cxay2 2:Cyx讲解讲解：圆是以为圆心，1 为半径的圆，从草图不22 1:1Cxay,0a难发现，当时，圆与抛物线无公共点；1a 当时，圆与抛物线相切；当1a 时，圆与抛物线相交；而当11a 时，圆与抛物线的关系则很难从图形上1a 加以判断 为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明2221xayyx把代入，整理得：（）2yx221xay221210xxaa 此方程的判别式54a 可以看到：当时，；当时，；当时，5 4a 0 5 4a 0 5 4a 0 事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无5 4a 5 4a
3、 公共点而当时，虽然有方程（）的，但圆与抛物线却并不总有5 4a 0 公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（）的过程中， 忽略了条件事实上，方程组解的个数等于方程（）的非负解的个数0x 综上，圆与抛物线的位置关系如下：22 1:1Cxay2 2:Cyx当或时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切1a 5 4a 1a （只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当11a 时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交1a 514a（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）5 4a 点评点评：双二次曲线的问题，要
4、注意判别式的符号与交点个数并不完全等 价例 2 已知椭圆，它的离心率为直线22122:10xyCabab3 3，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切:2l yx1CO（）求椭圆的方程；1C（）设椭圆的左焦点为，左准线为 动直线垂直 于点，线段1CF1l2l1lP的垂直平分线交于点试点到圆上的点的最短距离PF2lMMO讲解讲解：（） 直线与以原点为圆心，以 b 为半径的圆相切:2l yx2b 又 椭圆的离心率为3 33a 椭圆的方程为1C22 132xy（）由（）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线 的方1CF1,01l程为：3x 连接，则由抛物线的定义不难知道：点 M 的轨迹为以FMFMP
5、M为焦点，以 ：为准线的抛物线，其方程为：F1,01l3x 242yx所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与MO242yx圆上的点的最短距离下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这222xy个问题 解法一：首先，如果抛物线上点 A 与圆上点 B 之间距离最小，则 AB 必过 圆心 O（否则，连接 OB、OA，设 OA 交圆于点 N，则 NAOAOBAB AB，即 NABA，与 AB 最小矛盾所以，只需rr 求出圆心 O 到抛物线上点的最短距离即可） 在抛物线上任取一点 M（x,y），则22224224MOxyxxx由于所以，（等号当且仅当2x 2MO 时取得）2x 所以，上述最短距离为
6、22MOr解法二：用纯代数的方法去思考设为抛物线上任意点，22,2M mm为圆上任意点，2cos ,2sinQ则 222222cos22sinMQmm242cos424 2sin6mmm22242 4232cos6mmm442 28cos6mm4462 28mm 2244222m等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得2,0M 2,0Q 点评点评：方法二需要较强的代数变形的能力， 充分运用图形的几何性质可以使得问题简 化例 3已知双曲线和椭圆有相同的1C2C焦点和，两曲线在)0 ,1cF （)0()0 ,(2ccF第一象限内的交点为 P椭圆与 y 轴负半2CF1 O F2 x Q ByP轴
7、交于点 B，且三点共线，分有向线段的比为 1：2，又直线BFP、22FPB与双曲线的另一交点为，若PB1CQ532QF（）求椭圆的离心率2C（）求双曲线和椭圆的方程1C2C讲解讲解：（）要求椭圆的离心率，可以先只考虑与椭圆有关的条2C2C件注意到：三点共线，且分有向线段的比为 1：2所以，若BFP、22FPB设椭圆的方程为：，222210xyabab则点 P 的坐标为代入椭圆方程，可解得椭圆的离心3, 22bPc率3 3e （）由（）可得椭圆的方程为：，点 P 的坐标为2222132xy cc直线 PB 的方程为：32, 22Pcc 2yxc设双曲线的方程为：，则22221,0xym nmn2
8、22mnc 在双曲线上，32, 22Pcc 222229124cc ncn化简得：故221 4nc223 4mc将直线 PB 的方程代入双曲线方程，消去 y，得：2222441xy cc222048270xxcc解得1239, 210xcxc从而 22223312105FF Qxxc 椭圆方程为，双曲线方程为22 1128xy2 213xy点评点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入 手为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答高考真题高考真题（1988年全国高考题）直线L的方程，其中；椭圆的中2px 0p 心为，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶2,02pD点为问：p在那个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，他们中,02pA每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离2(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的3 2e 30,2P7方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标7答案与提示：1 ； 2103p2 2111, 3,3,422xy
