《数学：1.1你能证明吗试题资料（北师大版九年级上）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学：1.1你能证明吗试题资料（北师大版九年级上）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、九年级上第一章证明九年级上第一章证明第一节你能证明吗第一节你能证明吗第第 1 1 课时课时一、试题资料库：例 1. （1）如果等腰三角形的两边分别为 3 和 6，则周长为 。（2）如果等腰三角形的两边分别为 3 和 4，则周长为 。解答：解答：（1）如果等腰三角形的两边分别为 3 和 6，则周长为 15 。（2）如果等腰三角形的两边分别为 3 和 4，则周长为 10 或 11 。例 2. 已知如图 ABAC，BDDC，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，求证：DE DF。证明：证明：连结 ADABAC，BDDCAD 平分BACDEAB，DFACDEDF例 3. 已知：B、C、E 在同一直线
2、上，ABC、DEC 是等边三角形，BD 交 AC 于 Q，AE交 CD 于 P，求证：（1）BDAE；（2）CPQ 是等边三角形；（3）PQBC。A D Q P B C E 分析：分析：（1）证 BD、AE 所在的BDC 和AEC 全等。（2）可证 CQPC，可通过证CEP 与CQD 全等来证。（3）由PCQ 为等边三角形可得QPC60，可通过内错角相等来证 PQBC。证证明：明：（1）ABC，DEC 为等边三角形ACBDCE60在BCD 和ACE 中，BCAC BCDACE CDCE （等量加等量相等）BCDACE（SAS）BDAE（全等三角形的对应边相等）（2）由（1）CDQCEP（全等三
3、角形的对应角相等）BCE180QCP180BCADCE180606060在CDQ 和CEP 中， QCPPCE CDCE CDQCEP60（已证）CDQCEP（ASA）CQCP（全等三角形对应边相等）在PCQ 中，PCQ60PCQ 为等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形）（3）CPQ 是等边三角形PQC 60（等边三角形的每一个角都是 60）PQCBCQPQBC（内错角相等，两直线平行）例 4. 如图：ABAC，BCDE，AD、AE 分别交 BC 于点 G、H，ADEAED。求证：BGCHA B G C D E 1 2 O H 证明：证明：BCDE1ADE（两直线平行，同位角相
4、等）同理，2AED又ADEAED12（等量代换）AGAH（等角对等边）过点 A 作等腰三角形 ABC 底边的高线 AOBOCO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合）AOGHGOOH（同上）BGCH（等量代换）例 5. 如图ABC 为等边三角形，D 为 CB 的延长线上任一点，以 AD 为边作等边三角形ADE，求证：ABEADE。证明：证明：ABC 与ADE 均为等边三角形。AEAD，ABAC， EADBACo60，EADDABBACDAB即EABDAC)(SASDACEABABECo60，ABEADE.例 6. 已知如图在等边三角形 ABC 各边上分别取 D、E、F，使 ADBECF，AE、B
5、F、CD两两交于 G、H、K 三点，求证：GHK 为等边三角形。证明：证明：ABC 为等边三角形ABCBCFo60ABBC，BECF)(SASBCFABEBAECBFABFCBFo60，o60BAEABFAGHBAEABFo60同理：GHKHKGo60AGHGHKHKGGHK 是等边三角形。例 7. 已知如图在 RtABC，Co90，o30A，求证：21BC AB。证明：证明：延长 BC 到 D 使得 CDBC，连结 AD在ACD 和ACB 中CDBCACACo9021)(SASACBACDBACDACo30，ABAD，即DABo60ABD 是等边三角形BDABCB21BDCB21AB例 8.
6、 已知ABC 中，ABAC，o30B，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于 E 交 BC 于 F。求证：CF2BF。证明：证明：连结 AFEF 为 AB 的垂直平分线BFAFBAFo30Booo603030AFC又ABAC，o30Bo30Coooo906030180FACRtAFC 中，o30C，AF21CF又AFBF，BF21CFCF2BF拓广探索（1.通常作顶角平分线、底边中线、底边高线）例9. 已知：如图 ABAC，BDAC 于 D，求证：DBCBAC2。证明：证明：作BAC 的平分线 AE， 交 BC 于 E则BAC2121又ABAC， AEBC2ACBo90BDACDBCACBo9
7、02DBC， DBCBAC2（2. 常延长一腰至等长，构造直角三角形解题）例 10. 已知如图在ABC 中，ABAC， 在 BA 延长线上取 AEAF。求证：EFBC。证明：证明：延长 BE 至 N，使 ANAB，连结 CN，则 ABANAC BACBACNANCo180ANCACNACBBo18022ACNBCAo90ACNBCA即o90BCNNCBC AEAF， AEFAFE.又BACAEFAFE， BACACNANCBAC2AEF2ANC， AEFANCEF/NC EFBC.3. 构造等腰三角形例 11. 已知如图在ABC 中，12，ABC2C。求证：ABBDAC证明：证明：延长 AB
8、至 E，使 BEBD，连结 DE。则BEDBDEABDEBDEABC2EABC2C， EC.在AED 和ACD 中ADADCE21)(AASACDAEDACAEAEABBEACABBD即 ABBDAC例 12. 已知在ABC 中，ABAC，直线 AE 交 BC 于点 D，O 是 AE 上一动点但不与 A 重合，且 OBOC，试猜想 AE 与 BC 的关系，并说明你的猜想的理由。猜想：猜想：AEBC，BDCD说理：说理：ABAC(已知)OBOC(已知)AOAO（公共边）ABOACO（SSS）BAOCAOAEBC，BDCD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）注意：注意：等腰三角
9、形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。例 13、已知：在ABC 中，ABAC，点 D、E 在 BC 上，且 ADAE，求证：BDCE分析：分析：该题证明方法很多，可以用以前学过的全等三角形解题，也可应用等腰三角形性质解题。证法一：证法一：过 A 作 AFBC 于 F可由 HL 证ADFAEF，ABFACF 得 DFEF，BFCF再由等式性质得 BDCE详细证明过程请自己完成。证法二：证法二：由等边对等角得BC，ADEAED所以ADBAEC，根据 AAS 可证ABDACE 得：BDCE证法三：证法三：过 A 作
10、AFBC 于 F，由 ABAC，得 BFCF（三线合一） ，同理由 ADAE，得 DFEF所以由等式性质可得 BDCE。比较这三种方法可看出，多用等腰三角形的性质，可减少证三角形全等的次数。所以灵活运用等腰三角形的性质可简化证题过程。例 14、已知：在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在 AC，AB 上，且ABDACE，BD、CE 相交于 O。求证：BOCO证明：证明：ABAC（已知） ABCACB（等边对等角）又ABDACE（已知）ABCABDACBACE（等式性质）即OBCOCB（等量代换）BOCO（等角对等边）例 15. 探索：等腰三角形两底角的平分线大小关系。已知：如图，在ABC 中，ABAC，BD、CE分别是两底角的平分线。猜想猜想：BDCE.解解：ABAC（已知） ， ABCACB （在一个三角形中等边对等角）BD、CE 分别是两底角的平分线（已知）DBCABC，ECBACB （角平分线的定义）DBCECB，在DBC 和ECB 中DBCECB，BCCB（公共边） ，ABCACB ， DBCECB（ASA）BDCE（全等三角形对应边相等）注意注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。
