挛生质数质数不再孤独

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1、HPM 通訊第十卷第十一期第一版 發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授） 主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中） 助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生） 編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中） 黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中） 陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高） 王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中） 英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系） 創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http:/math.ntnu.edu.tw/horng 攣生質：質再孤獨？攣生質：質再孤獨？ 洪萬生洪萬生 台灣師大學系退休教授台灣師大學系退休教

2、授 二一三年五月，國際數學界的焦點，都集中在孿生質數猜想（二一三年五月，國際數學界的焦點，都集中在孿生質數猜想（twin primes conjecture） 研究的劃時代突破貢獻上。這是華人數學家張益唐撼動數學界的驚人之舉， 他在） 研究的劃時代突破貢獻上。這是華人數學家張益唐撼動數學界的驚人之舉， 他在 1991 年獲得美國普度大學博士學位後，一直都找不到與學術有關的工作，甚至被 迫在速食店打工。即使後來有機會在美國新罕布夏大學 （年獲得美國普度大學博士學位後，一直都找不到與學術有關的工作，甚至被 迫在速食店打工。即使後來有機會在美國新罕布夏大學 （University of New Ha

3、mpshire） 數學與統計系擔任專任講師，也只能以純教學換取溫飽，但他內心始終平和，從不怨懟， 名利如浮雲，卻從不放棄他最愛的數學研究。） 數學與統計系擔任專任講師，也只能以純教學換取溫飽，但他內心始終平和，從不怨懟， 名利如浮雲，卻從不放棄他最愛的數學研究。 五月下旬，我接到數學教育家五月下旬，我接到數學教育家 Jerry Becker 轉來的 紐約時報 有關張益唐的報導， 一時沒有太大注意。幾天內，我不知道是哪來的靈感，開始利用轉來的 紐約時報 有關張益唐的報導， 一時沒有太大注意。幾天內，我不知道是哪來的靈感，開始利用 Google 搜尋搜尋 “Yitang Zhang” 和張益唐 ，

4、才發現張益唐已經在孿生質數猜想的研究上，樹立了空前的、具 有深刻洞察力的里程碑。和張益唐 ，才發現張益唐已經在孿生質數猜想的研究上，樹立了空前的、具 有深刻洞察力的里程碑。 由於張益唐的罕見成就只能用不可思議的一則傳奇來形容，因此，在本文中， 我們也想參用文學敘事的方式，來介紹這個孿生質數猜想。由於張益唐的罕見成就只能用不可思議的一則傳奇來形容，因此，在本文中， 我們也想參用文學敘事的方式，來介紹這個孿生質數猜想。 孿生質數與數學小說孿生質數與數學小說 所謂孿生質數，是指兩個相鄰的質數，其間只隔著一個偶數，譬如所謂孿生質數，是指兩個相鄰的質數，其間只隔著一個偶數，譬如 11 和和 13，17

5、和和 19，41 和和 43 等等。那麼，由於歐幾里得老早（在二千多年前）已經證明了質數個數無 限多，這種雙胞胎質數是否也一樣有無限多對呢？這就是孿生質數猜測。等等。那麼，由於歐幾里得老早（在二千多年前）已經證明了質數個數無 限多，這種雙胞胎質數是否也一樣有無限多對呢？這就是孿生質數猜測。 質數是很多數學家的最愛，譬如數學家兼科普作家桑托伊（質數是很多數學家的最愛，譬如數學家兼科普作家桑托伊（Marcus du Sautoy）原 先打算他的雙胞胎女兒命名為）原 先打算他的雙胞胎女兒命名為 forty-one 和和 forty-three，但因太太不大贊成，他只好退 而求其次，變成秘密的中名（，

6、但因太太不大贊成，他只好退 而求其次，變成秘密的中名（middle name） 。） 。 攣生質數：質數不再孤獨？ 攣生質數：質數不再孤獨？ 聯立方程組的程序性解法： 卡丹諾與程大位 聯立方程組的程序性解法： 卡丹諾與程大位 半角公式半角公式 為國中學生推薦數學普及閱讀書單 為國中學生推薦數學普及閱讀書單 HPM 通訊第十卷第十一期第二版 對於一般作家來說，好像也很難抵擋質數的魅力。我們且先看膾炙人口的數學小說 博士熱愛的算式 （小川洋子著）如何形容質數：對於一般作家來說，好像也很難抵擋質數的魅力。我們且先看膾炙人口的數學小說 博士熱愛的算式 （小川洋子著）如何形容質數： 在這個世界上，質數是

7、博士的最愛。雖然我也知道質數的存在，但我從來沒有想到 可以成為愛的對象。雖然是個古怪的對象，博士愛的方式卻很正統：疼惜對方，無 私地為對方奉獻，抱著一份敬愛，時而愛撫，時而跪在一旁呵護，隨時陪伴在一旁。在這個世界上，質數是博士的最愛。雖然我也知道質數的存在，但我從來沒有想到 可以成為愛的對象。雖然是個古怪的對象，博士愛的方式卻很正統：疼惜對方，無 私地為對方奉獻，抱著一份敬愛，時而愛撫，時而跪在一旁呵護，隨時陪伴在一旁。 我認為質數的魅力在於無法說明它出現的秩序。每一個質數都沒有因數，隨意 地出現在數列中。雖然數字越大就越不容易找到質數，卻無法根據一定的規則預測 質數的出現。這種惱人的反覆無常

8、，使追求完美的博士完全拜倒在它的石榴裙下。我認為質數的魅力在於無法說明它出現的秩序。每一個質數都沒有因數，隨意 地出現在數列中。雖然數字越大就越不容易找到質數，卻無法根據一定的規則預測 質數的出現。這種惱人的反覆無常，使追求完美的博士完全拜倒在它的石榴裙下。 至於孿生質數呢，則有數學小說質數的孤獨 （保羅裘安諾著）針對一對各自 極端孤獨的戀人之動人比喻：至於孿生質數呢，則有數學小說質數的孤獨 （保羅裘安諾著）針對一對各自 極端孤獨的戀人之動人比喻： 在大學的第一年，馬提亞發現質數當中還有一些更特別的數字，數學家稱之為孿 生質數 。在大學的第一年，馬提亞發現質數當中還有一些更特別的數字，數學家稱

9、之為孿 生質數 。 這是一對彼此非常接近的質數，幾乎是緊緊相鄰，但它們之間總是會存在著一個偶數，讓它們無法真正地碰在一起，例如這是一對彼此非常接近的質數，幾乎是緊緊相鄰，但它們之間總是會存在著一個偶數，讓它們無法真正地碰在一起，例如 11 和和 13、17 和和 19、41 和和 43 這些數字。這些數字。 如果有耐性地一直數下去，將會發現這種孿生質數越來越少見，越來越常碰到 的是孤立的質數，迷失在全是由數字所組成的安靜、整齊的空間裡。如果有耐性地一直數下去，將會發現這種孿生質數越來越少見，越來越常碰到 的是孤立的質數，迷失在全是由數字所組成的安靜、整齊的空間裡。 接著你會很痛苦地意識到，孿生

10、質數一直要等到意外事件發生的時候才會碰在 一起，而它們的真正的宿命是注定一輩子孤獨。然後，當你正準備要放棄、不想繼 續算下去的時候，卻又碰上另外一對孿生質數，它們緊緊地抓住對方。於是數學家 之間有一種共同的信念，就是盡量地往前數，總是會遇上另一對孿生質數，雖然沒 有人知道它們何時會出現，但一定會碰到。接著你會很痛苦地意識到，孿生質數一直要等到意外事件發生的時候才會碰在 一起，而它們的真正的宿命是注定一輩子孤獨。然後，當你正準備要放棄、不想繼 續算下去的時候，卻又碰上另外一對孿生質數，它們緊緊地抓住對方。於是數學家 之間有一種共同的信念，就是盡量地往前數，總是會遇上另一對孿生質數，雖然沒 有人知

11、道它們何時會出現，但一定會碰到。 本小說問世時，作者保羅裘安諾還是一位物理學博士生，因此，他塑造男主角馬提亞 是一位頗有才氣的數學家，讓他來對孿生質數現身說法 ，看來是相當合理的敘事。 而上述引文最後一句，就是作者對孿生質數猜想的一個說明。本小說問世時，作者保羅裘安諾還是一位物理學博士生，因此，他塑造男主角馬提亞 是一位頗有才氣的數學家，讓他來對孿生質數現身說法 ，看來是相當合理的敘事。 而上述引文最後一句，就是作者對孿生質數猜想的一個說明。 事實上，針對張益唐現象，有許多中文寫成的評論或感想都提及質數的孤獨 ， 可見文學敘事對科學普及，的確發揮了意想不到的助益。在這本小說中，作者還舉數學 實

12、例挑戰讀者：事實上，針對張益唐現象，有許多中文寫成的評論或感想都提及質數的孤獨 ， 可見文學敘事對科學普及，的確發揮了意想不到的助益。在這本小說中，作者還舉數學 實例挑戰讀者： 2760889966649、2760889966651 是否為攣生質數？是否為攣生質數？ 小說中的男主角曾利用小說中的男主角曾利用 3, 5, 7, 11, 13, , 37, , 43 等質數，試著除這兩個數，結果太疲 累了，最後只好放棄。等質數，試著除這兩個數，結果太疲 累了，最後只好放棄。 孿生質數猜測緣起孿生質數猜測緣起 根據文獻記載，這個猜想被認為是法國數學家波里納克（根據文獻記載，這個猜想被認為是法國數學家

13、波里納克（Alphonse de Polignac）於）於HPM 通訊第十卷第十一期第三版 1849 年所提出。年所提出。1912 年，德國數學家藍道（年，德國數學家藍道（Edmond Landau）在國際數學家大會中， 提出四個重大的數論問題，其中有一個就是孿生質數猜想。這種加持當然讓孿生質 數猜想更具魅力，成為一個偉大級的數學難題！）在國際數學家大會中， 提出四個重大的數論問題，其中有一個就是孿生質數猜想。這種加持當然讓孿生質 數猜想更具魅力，成為一個偉大級的數學難題！ 為了思考這個猜想成立的可能性，數學家利用數值計算方法，來加以檢驗。於是， 我們目前知道的結果有如下列：為了思考這個猜想成

14、立的可能性，數學家利用數值計算方法，來加以檢驗。於是， 我們目前知道的結果有如下列： 小於小於510的自然數中有的自然數中有 1,224 對孿生質數對孿生質數 小於小於610的自然數中有的自然數中有 8,164 對孿生質數對孿生質數 小於小於7103 . 3的自然數中有的自然數中有 152,892 對孿生質數對孿生質數 小於小於1110的自然數中有的自然數中有 224,376,048 對孿生質數對孿生質數 還有，還有，2011 年所發現的迄今最大的孿生質數對是：年所發現的迄今最大的孿生質數對是：110685,695,801,756, 3669,666。 由於質數的個數無限多，因此，這個孿生質數

15、猜想當然可以連結到質數在自然數中的分布情況，而後者也在十九世紀末（由於質數的個數無限多，因此，這個孿生質數猜想當然可以連結到質數在自然數中的分布情況，而後者也在十九世紀末（1896 年） ，由法國數學家阿達瑪（年） ，由法國數學家阿達瑪（J. Hadamard） 和比利時數學家瓦里普桑（） 和比利時數學家瓦里普桑（C. Vallee-Poussin）獨立證明出來，這就是大名鼎鼎的質數定 理：）獨立證明出來，這就是大名鼎鼎的質數定 理： 當當n時，時，( )/lognnn 其中其中)(n是小於或等於是小於或等於n的質數個數。當我們運用經驗法則來確認這個定理時，我們可 以提供一些數據，來表現質數在

16、自然中的密度的質數個數。當我們運用經驗法則來確認這個定理時，我們可 以提供一些數據，來表現質數在自然中的密度( )/nn：在一億以內，有：在一億以內，有 5,761,455個質數；在一兆以內，有個質數；在一兆以內，有 37,607,912,018 個質數。前者密度為個質數。前者密度為 0.06，後者則只剩下，後者則只剩下 0.038， 可見質數越來越孤獨。， 可見質數越來越孤獨。 另一方面，上述質數定理也可以讓我們據以驗證質數之間的平均距離另一方面，上述質數定理也可以讓我們據以驗證質數之間的平均距離 /( )lognnn，也就是，在很大的自然數，也就是，在很大的自然數 n 以內，這一距離大約是以內，這一距離大約是logn。譬如說吧，一億以內的質數之平均距離大約是。譬如說吧，一億以內的質數之平均距離大約是 17.4，一兆以內的質數的平均