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1、 8.2 坐标系、矢量的坐标坐标系、矢量的坐标第第8章章 8.2.2 空间直角坐标系、柱面坐标系 和球面坐标系 8.2.1 坐标系坐标系 8.2.3 矢量运算的坐标表达式8.2 8.2 坐标系、矢量的坐标坐标系、矢量的坐标8.2.18.2.1、坐标系、坐标系坐标及坐标系坐标及坐标系为了确定空间中的一点在一定参考系中的位为了确定空间中的一点在一定参考系中的位 置，按照规定的方法选取的有序数组（或一个数）称为点的置，按照规定的方法选取的有序数组（或一个数）称为点的 坐标坐标，这种规定坐标的方法称为，这种规定坐标的方法称为坐标系坐标系。例如平面直角坐标系例如平面直角坐标系 和极坐标系和极坐标系8.2
2、.28.2.2、空间直角坐标系、柱面坐标系、空间直角坐标系、柱面坐标系 和球面坐标系和球面坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系首先取空间中一定点首先取空间中一定点，作三个以，作三个以点为点为 始端的两两垂直的单位向量始端的两两垂直的单位向量，就确定了三条以，就确定了三条以点为点为 原点的两两垂直的数轴原点的两两垂直的数轴，分别称为，分别称为轴、轴、 轴、轴、 轴，并依轴，并依的顺序按右手法则规定坐标轴的正向。的顺序按右手法则规定坐标轴的正向。 这样就由矢量法建立了一个空间直角坐标系。这样就由矢量法建立了一个空间直角坐标系。OxyzO, ,i j kO ,Ox Oy Oz ,Ox Oy Ozxyz
3、空间直角坐标系空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o ,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozxyzo向径向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(
4、zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0) ;rr机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束M坐标轴坐标轴 : 坐标面坐标面 :机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束xyzo柱面坐标系柱面坐标系空间中一点空间中一点，在，在面上投影面上投影 的极坐标为的极坐标为，即，即，是是与与轴正向的夹角，轴正向的夹角， 仍然是仍然是在空间直角坐标系中的在空间直角坐标系中的坐标。显然，空间中任坐标。显然，空间中任 何一点何一点都可用三个数都可用三个数唯一确定，唯一确定，称为点称为点 的柱面坐标，这里规定：的柱面坐标，这里规定：, ,zM x yOxyQ ,
5、 rrOQOQxzPz P, ,rz, ,rzM0, 02 ,.rz oxyz柱面坐标系柱面坐标系,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.z 200 siny zz cosx直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面o z),(zyxM)0 ,(yx机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束球面坐标系球面坐标系空间中一点空间中一点与原点与原点的距离的距离为为，矢量，矢量与与轴正向的夹角为轴正向的夹角为，为为在在坐标面上的投影向量坐标面上的投影向量与与轴正向的夹角
6、。这样的三个数轴正向的夹角。这样的三个数形成的有序数组形成的有序数组称为点称为点的球面坐标。这里规定：的球面坐标。这里规定：O, ,zM x yOM rOMzOMOxy OQx , ,r M 0, 0,02 .r 空间球面坐标系空间球面坐标系,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系,ZOMM oxyz zr),(r则 0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为坐标面分别为常数r球面球面常数半平面半平面常数锥面锥面, rOM 令),(rMsinr cosrz 8.2.38.2.3、矢
7、量运算的坐标表达式、矢量运算的坐标表达式设矢量设矢量则有则有 123123123,b ,b,c ,c.a a abcabc 1122331231 1223 3123122123123123, ,.ab ab abkka ka kaaba ba baaaaaabbb bbbcccabaa bijka ba b c1. 矢量的坐标表示矢量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M, ),(zyxM则则沿三个坐标轴方向的分矢量沿三个坐标轴方向的分矢量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为矢量此式称为矢量 r
8、 的坐标分解式的坐标分解式 ,r任意矢量任意矢量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA利用坐标作矢量的线性运算利用坐标作矢量的线性运算设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaa,0 时当axxabyyabzzab xx ab yy abzz ab平行矢量对应坐标成比例平行矢量对应坐标成比例:，为实数2. 矢量的模与两点间的距离公式矢量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr xoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得因因得两点间的距离公式得两点间的距离公式: 2 122 12
9、2 12)()()(zzyyxx对两点对两点与与, rOM作OMr OROQOPOyzx方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量任取空间一点任取空间一点 O ,称称 =AOB (0 ) 为向量为向量的夹角的夹角. 类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角为其方向角.cos222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向角的余弦称为其方向余弦. ba,rxrOyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz方向余弦的性质方向余弦的性质:rxryrz3. 数量积的坐标表示数量积的坐
10、标表示设设则则0zzyyxxbababa当当为非零矢量时为非零矢量时,coszzyyxxbababa222 zyxaaa222 zyxbbb由于由于cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjik baba两两矢量的夹角公式的夹角公式, 得得)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.矢量积的坐标表示式矢量积的坐标表示式设设则则,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk矢量积的行列式计算法矢量积的行列式计算法
11、kjixayazaxbybzb, zxzx bbaaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyxzyxzyx bbbaaa xcyczckji 5. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示 设设xayazaxbybzbzxzx bbaa yxyx bbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cba zyzy bbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc , zyzy bbaa, zxzx bbaa yxyx bbaaxcyczc)(MB, )(MAB M例例1. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1
12、 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 10, 1,01则则AMBcos100 22AMB求求MBMA MAMB故故例例 2 2 求与求与kjia423 ，kjib2 都垂都垂直的单位向量直的单位向量. 解解zyxzyx bbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.51 52 kj|c c例例 3 3 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD. ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521 225BD . 5| BD例例4. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的故故6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA
