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1、典型例题一典型例题一例例 1 1根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明（）如图 1，已知在内作于，在内作于lAl,lPA AlQA A（）如图，已知作于，在内作lAAl,APP于，连结lAQ QPQ（）已知作于，于，平面AAl,APPAQQl，连结、HPAQ PHQH作图与证明在此省略 说明：说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的 方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形典型例题二典型例题二例例 2.2. 如图，在立体图形中，若是的中点，则ABCD ECDADCBAB,AC下列命题中正确的是（ ）.（A）平面平面ABCABD （B）平面平面ABDBDC （
2、C）平面平面，且平面平面ABCBDEADCBDE （D）平面平面，且平面平面ABCADCADCBDE 分析：分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条 直线与第一个平面垂直.解：解：因为且是的中点，所以同理有，于是,CBAB EAC,ACBE ACDE 平面.因为平面，所以平面平面.又由于ACBDEACABCABCBDE 平面,所以平面平面.所以选 C.ACACDACDBDE 说明：说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某 一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面 垂直,由线面垂直可得到
3、面面垂直.典型例题三典型例题三例例如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平PABCPAABCPAC 面求证PBCACBC 分析：分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一 条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直 证明：证明：在平面内作，交于因为平面平面于PACPCAD PCDPACPBC，平面，且，所以又因为平面PCADPACPCAD PBCAD平面BC，于是有另外平面，平面，所PBCBCAD PAABCBCABC以由及，可知平面因为平面，BCPA APAADIBCPACACPAC所以ACBC 说明：说明：在空间图形中，高一级的垂直
4、关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以 看到，面面垂直线面垂直线线垂直典型例题四典型例题四例例如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上异于、ABOPAOCA 的任意一点，求证：平面平面BPACPBC分析：分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂C 直证明：证明：因为是的直径，是圆周上的点，所以有ABOCACBC 因为平面，平面，则PAABCBCABCBCPA 由及，得平面APAACIBCPAC因为平面，有平面平面BCPBCPACPBC 说明：说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系
5、的依据，根据条件，由线线垂直线 面垂直面面垂直通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关 系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系典型例题五典型例题五例例如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使A MNMNAP与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角APMNPAMo45o30的大小 MN分析：分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中 （最好是直角三角形） ，通过解三角形使问题得解解：解：在射线上取一点，作于，APBBHH连结，则为射线与平面所成的角，AHBAHAP再作，交于，o30BAHMNBQ MNQ连结，则为在平面内的射影由三垂线定理
6、的逆定理，HQHQBQMNHQ 为二面角的平面角BQH MN设，在中，,在aBQ BAQRtaABBAMBQA2,45,90ooRt中，BHQ,22,90aBHaBQBHQo 2222sinaaBQBHBQH是锐角，,即二面角等于BQHQo45BQH MNo45说明：说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的 角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根 据各个平面角的定义添加适当的辅助线典型例题六典型例题六例例如图，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角aABCAD CADC（）指出这个二面角的面、棱、平面角；（）若二
7、面角是直二面角，求的长；CADCCC（）求与平面所成的角；CA CDC（）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正CADCo120DCCA切值 分析：分析：根据问题及图形依次解决解：解：（）二面角的面为,CDADDCADBCADQCADC和面，棱为，二面角的平面角为ADCCAD ADCCD （）若，o90CCDaCCaCDDCaAC22,21,Q（）平面，为与平面ADDCADCDAD,QCCD DCA CA 所成的角在直角三角形中，于是CDCCAD o30,21CDAACCDDCo60DCA（）取的中点，连结、，CC EAEDE ，CCDECCAEACCADCCD,Q为二面角的平面角AEDDC
8、CA,41,21,120aDEaCDDCDCCoQ在直角三角形中，AED,23aAD DEADAED tan324123 aa说明：说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变 与不变量典型例题七典型例题七例例 7 正方体的棱长为 1，是的中点求二面角1111DCBAABCDPAD的大小PBDA1分析：分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半 平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是 很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射
9、影就是再过作的AB1AD1BD1AD1ADP1AD垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角PFPF 1ABDFBD1FEPEF了解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结P1BD1ADEFEF面，面，AB 1ADPF1AD，PFAB 又，面1ADPF PF 1ABD又，1BDPE 1BDEF 为所求二面角的平面角PEF，DADRt1PFA11ADAP DDPF而，21AP11DD21AD42PF在中，1PBD251 PBPD，1BDPE 23 21BDBE在中，PEBRt2222BEPBPE在中，PEFRt21sinPEPFPEF30PEF典型例题八典型例题八例例 8 在所在平面外有一点，已知
10、，与底面所成角为，ABCSABSC SCABC二面角的大小为，且求二面角的大小CABS90ASBC分析：分析：由题设易证，由已知得平面，显然所求的二面角是直二SDSC SCSAB 面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可在解这种类型题时，如果去作二面角的平面角，那么可能会走弯路ASBC解：如图所示，作平面于，连结并延长交于，连结SOABCOCOABDSD 平面，SOABC 是与平面所成角，SCOSCABCSCO 平面，SOABCABSC ，CDAB SDAB 是二面角的平面角，SDOCABSSDO，90SDSC 又，平面，ABSC SCSAB 平面平面，SBCSAB 二面角的大小为ASBC90
11、 说明：说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直应注意不满足第(3)条，不是二面角的平面角CSBASBC 在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为，反之亦然90典型例题九典型例题九例例 9 如果，那么aIa分析：分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力要证 ，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面aa垂直的性质达到证明的目的；(2)要证，只要证明平行于平面的一条垂线aaa 就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“
12、同一法”来证明证法一：证法一：如图所示，设，bIcI过平面内一点作于，作于PbPA AcPB B，PA又，同理可证aIaPA aPB 且，PPBPAIPBPA、a证法二：证法二：如图所示，设，在平面内作直线bIbl 1，1l设，在平面内作直线同理可证，因此cIcl 2al 221/ll由于，1l2l/2l而，2lIaal /2故由知，al /2a证法三：证法三：如图所示过直线上一点作直线aPa，IaaP，根据课本第 37 页例 2（如果两个平面互相垂直，P那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内） ，同理可证，故aaIa椐公理 2 可知，直线与直线重合aaa说明：说明：(
13、1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂 直，在很多习题中都可以用到本例的结论 (2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直” 、 “线面面垂直”的 判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高 数学思维能力是大有裨益的典型例题十典型例题十例例 10 设由一点发出三条射线、，SSASBSCASBBSC，、均为锐角，且求证：平面平面ASCcoscoscosASBBSC 分析：分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题 设法通过线段关系过渡证明：证明：如图，任取点，作于，过作于，连结AS
14、BAB BBSCBC CAC，cos ASSBcos SBSC故coscos ASSC又由，coscoscos则，从而可得，cos ASSC90ACS 即，已作，故平面，SCAC SCBC SCACB 即有，已作，从而平面，SCAB SBAB AB BSC 故平面平面ASBBSC 说明：说明：本题易犯错误是：作于，作于，连结，由三垂线SBAB BSCBC CAC 定理得，平面，平面其错误原因ACSC SCACBSCAB AB SBC 是作后，将误认为是平面的垂线SBAB ABSBC 此题的证明也可以作于，于，连结在中，由SBAB BSCAC CBCSBC余弦定理及条件，证明，从而，coscoscos222SCBCSBBCSC SC面，由此进一步证明，平面平面ABCSCAB ASBBSC典型例题十一典型例题十一例例 11 如果二面角的平面角是锐角，点到、和棱 的距离分别为lP
