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1、本资料来源于本资料来源于七彩教育网七彩教育网http:/全国初中（初二）数学竞赛辅导全国初中（初二）数学竞赛辅导第二十七讲第二十七讲 列方程解应用问题中的量与等量列方程解应用问题中的量与等量列方程解应用问题时，比较困难的一环常常是同学们不知如何着手 去找等量关系又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工 程问题，行程问题，浓度问题，等等，如果每一种问题都来考查一下找 等量关系的规律，这不仅太繁杂，而且罗列也不是真正的概括那么根 据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？为此，我们必须先对“量”做个基本的分析和介绍，只有对量有了 比较明确的认识，才便于了解“等量”，那么找等量关系也
2、就有了依 据所谓“量”就是表现物体属性的一个侧面例如拿一根金属棒来说， 为了弄清它的性状，就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、 比重、价格，等等，这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的， 这就是所谓的量一般说来，常用的量基本上可以分为两大类例如，一群羊、一堆 蛋等，因为它们具有天然的个别单位，所以处理这种量只要数一数它们 的个数 1，2，3，就可以了这种量我们称它为分离量，分离量的特 点是可数的另一种量，例如一根绳子的长度，一桶水的重量等，长度 和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数，但这种量的基本特点是 它们可以无限细分，因此我们可以选取人为的单位去度量它们比如， 度量长度，
3、我们可以选用米或厘米作为长度单位；度量重量，我们可以 选用千克或克等作为重量单位取定了度量单位之后，就可以度量这种 量的多少了我们称这种量为连续量，它的一个基本特点是可以度量在连续量之中，例如长度、面积、体积、重量、时间等等，这些量 既可以细分又可以广延，我们称这种量为外延量连续量中的另一类是 由两种外延量之比产生出来的，用以表示“强度”，这种量称为内涵 量例如表示单位面积上承受多少压力的“压强”就是一个内涵量这 是因为它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的如果把内涵量再分类，又可以分为两种，其中一种是由不同种外延 量之比产生的量，我们称它为度例如等等都是度另外一种内涵量是由两个同种外延量之
4、比得来的，我们称它为 率例如等等都是率这样，可以把常见的量的分类归纳如下：我们对量有了一定的了解之后，从量的种类入手，找等量关系，就 有了可以遵循的基本原则和方法了第一，因为分离量不能和连续量相等，外延量不能和内涵量相等， 度不能和率相等，因此，等量关系只能在同种量中寻找，即分离量=分离量，外延量=外延量，度=度，率=率第二，因为分离量和外延量是可加的，所以如果要确定分离量或外 延量的某种相等关系，便可以利用“全量=部分量之和”(它的推理是 “部分量=全量的一部分量”，“部分量之和=部分量之和”，特例是 “全量=全量”)的原则第三，因为度和率是两种外延量之比，如果要确定的是度或率的某 种相等关
5、系，只须找到同一个度或率的两种不同表达式，然后用等号连 接起来就可以列出方程了我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示 法下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用例例 1 1 设 A，B 两地相距 82 千米(km)，甲骑自行车由 A 向 B 驶去，9 分钟(min)后，乙骑自行车由 B 出发以每小时比甲快 2 千米的速度向 A 驶 去，两人在距 B 地 40 千米处相遇，问甲乙的速度各是多少？分析与解分析与解 首先我们列出题中的各种已知量和待求的量：(1)A，B 两地的距离是 82 千米；(2)甲乙两人相向而行，甲比乙先行 9 分钟；(3)每小时乙比甲多走 2 千米；(4)两人相遇地点距 B
6、 地 40 千米；(5)求甲乙的速度其次，就要设一个适当的未知量，并把它看作“已知量”，根据题 中所给的条件，把已知量和未知量联系起来，找等量关系列方程为此， 我们可有不同的思考方法第一，可以从外延量考虑等量关系本题中，时间、距离都是外延 量比如，我们考虑时间这个外延量，那么如何找出本题中有关时间的 一个等量关系呢？因为甲乙中途相遇，那么自然要问甲由 A 出发到与乙 相遇走了多少时间？乙由 B 出发到与甲相遇走了多少时间？这两者又有 什么关系？联系已知条件，利用全量=部分量之和可知甲由 A 出发到遇到乙的时间=乙由 B 出发到遇到甲的时间+9 分钟，又考虑到如果设甲的速度为 x 千米/小时(k
7、m/h)，那么乙的速度为(x2)千的解是 x=30 千米(方程的解法留给读者)，所以甲的速度是每小 时行 30 千米，乙的速度是每小时 32 千米第二，也可以从内涵量找等量关系在本题中，速度就是个内涵量， 以速度来找等量关系，就是寻找甲的速度和乙的速度之间的关系问 题由已知条件可知，乙每小时比甲多走 2 千米，即甲的速度=乙的速度-2，因此，如果设甲与乙相遇时正好走了 x 小时，那么乙遇甲时走了时由式，可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2，即乙的速度为 32(千米/小时)在以上两种找等量关系的思考方法中，第一种方法，从外延量考虑， 利用了“全量=部分量之和”的原则第二种方法从内涵量考虑，注
8、意到 了“度”的等比表示法例例 2 2 甲乙两台打麦机，甲机工作效率是乙机的 2 倍，先用甲机打打 完麦子所需时间多 11 天，问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间？分析与解分析与解 首先列出题中有关的各种量：(1)甲机工作效率是乙机的 2 倍；(3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多 11 天的 时间；(4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数其次，为了找出等量关系列出方程，我们仍像例 1 那样，从外延量 和内涵量这两种不同的量入手来分析思考第一，从外延量考虑等量关系本题中的时间就是个外延量，因为 外延量是可加的，那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则，注意 到“全
9、量=部分量之和”或其推论，只要找到同一个时间的两种不同表示 法，等量关系也就找出来了为此，如果我们设 x 为甲机打完全部麦子 所需要的时间(天数)，那么 2x 就是乙机打完全部麦子所需要的时间(天比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多 11 天”可知，这一关键语给这两个表达式，表示的是同一时间，因此它们相等，这就得到如下 方程解这个方程，得到x=15(天)甲机打完全部麦子的天数，那么2x=30(天)乙机打完全部麦子的天数第二，从内涵量考虑等量关系本题中甲乙两机的工作效率就是个 内涵量，如果设 x 为甲机打完全部麦子所需时间(天数)，则 2x 为乙机打 完全部麦子所需时间(天数)，那么就是甲乙两
10、机每天共同的工作效率如果再找出甲乙两机每天工作 效率的另一种表示法，那么方程也就列出来了由于全部的工作量设为 1，而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时 间为所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来，就得到方程解这个方程，就得到x=15(天)甲打完全部麦子的时间，2x=30(天)乙打完全部麦子的时间例 2 的分析和例 1 类似，从外延量考虑等量关系时，注意到时间这 个外延量的可加性，并利用了“全量=部分量之和”的原则从内涵量考 虑等量关系时，是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法例例 3 3 要在含 50酒精的 800 克(g)酒中，倒入含酒精 85的酒多少
11、 克，才能配成含酒精 75的酒？分析与解分析与解 本题涉及的量有溶液、溶质和浓度，其中溶液、溶质是外 延量，浓度是内涵量，这三者之间的关系是因此，在找等量关系时，既可以从外延量(溶液、溶质)来考虑，也 可以从内涵量(浓度)来考虑第一，从外延量来考虑等量关系由题意可知(1)要求的混合溶液的重量=已知两种溶液重量的和；(2)要求的混合溶液中，溶质的重量=已知的两种溶液中溶质重量的 和所以无论从溶液还是溶质来考虑等量关系，都可以用“全量=部分量 之和”的原则来确定等量关系如果设 x 为倒入含酒精 85的酒的重量， 那么由(1)可知，混合溶液重量=800+x，再由(2)就可列出方程解上述方程，就得到x
12、=2000(克)第二，从内涵量考虑等量关系由于本题中浓度是内涵量，因此只 须找出混合溶液浓度的两种不同表示式，即可列出方程现在已知混合 溶液的浓度是 75，所以再找出混合溶液浓度的另一种表达式就行 了因为所以，只须找到混合溶液中的溶质和溶液的重量即可为此，若设 x 为倒入的含酒精 85的酒的重量，则混合溶液重量=800x因为，甲 种酒中含酒精的重量为 50800，乙种酒中含酒精的重量为 85x，所 以由(2)可知：混合溶液中含酒精的重量为 5080085x所以， 混合溶液浓度的另一种表达式为上式表示式等于 75，于是得到方程解这个方程，得到x=2000(克)综上，例 1、例 2、例 3 表面上
13、看是三类问题，其实是完全类似 的在这三例中所涉及的量有如下对应关系：这样，一般所说的行程问题、工程问题、浓度问题，从上面的分析 解法可知是完全类似的因为工作效率可以看成工作速度，而浓度表示 的是强度，在这样的意义下，它们自然可以看成是类似问题，因此，从 外延量或内涵量来找等量关系列方程，也就有了统一的方法其实，广而言之，如果应用题所涉及的量是内涵量，或由它转化而外延量=外延量内涵量)，那么，在表示某种强度的意义下，都可看成 同类问题当然各自的物理意义不同，因此，结合各个具体问题，作出 具体分析，但是找等量关系列方程的基本思考方法却是共同的练习二十七练习二十七1解下列方程：(4)75%(800+
14、x)=50%800+85%x；2两条船分别从河的两岸同时相对开出，它们的速度各自一定，第 一次相遇在距河的一岸 800 米(m)处，然后继续前进，各自到达对岸后立 即折回，第二次相遇在距河的另一岸 600 米处，如果认定船到对岸反向 航行时不耽误时间，并且不考虑水流速度，问河宽有多少米？3甲乙两个小组合作完成一件工作，乙组单独做 1 天后，由甲乙两 组合作了 2 天就完成了全部工作问甲乙两组单独完成此项工作，各需 多少天？4已知甲种盐水含盐 40，乙种盐水含盐 15，现在要制成 5 千 克(kg)含盐 25的盐水，试问需要甲乙两种盐水各多少千克？5植树节这一天，某校学生去植树，如果每人植树 6 株，只能完成植 树 40 株，求参加植树的人数及原计划植树的株数
