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1、圆锥曲线综合应用专题一圆锥曲线综合应用专题一1点 A、B 分别是以双曲线162x1202 y的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且位于 x 轴上方，0PFPA（1）求椭圆 C 的的方程； （2）求点 P 的坐标； （3）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值.2 已知在平面直角坐标系xoy中，向量32),1 , 0(的面积为OFPj，且3,3OF FPt OMOPjuuu r uu u ruuuu ruuu rr.（I）设44 3,tOFFP uuu
2、 ruuu r求向量与 的夹角的取值范围；（II）设以原点 O 为中心，对称轴在坐标轴上，以 F 为右焦点的椭圆经过点 M，且|,) 13(,|2OPctcOF当取最小值时，求椭圆的方程.3设 A、B 是椭圆 3x2y2= 上的两点, 点 N(1,3)是线段 AB 的中点. (1)确定 的取值范围, 使直线 AB 存在, 并求直线 AB 的方程. (2)线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C,D 两点, 求线段 CD 的中点 M 的坐标 (3)试判断是否存在这样的 , 使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.4设1122(,),(,)P xyQ xy是抛物线2:2(0)C ypx
3、p上相异两点，且0OP OQ guuu r uuu r ，直线PQ与x轴相交于E（）若,P Q到x轴的距离的积为4，求p的值；（）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F，使得直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于T，且有3TRTQuu ruu u r ，若存在，求出F 点的坐标（用p表示） ，若不存在，说明理由5已知点 A、B 的坐标分别是( 1,0)，(1,0).直线,AM BM相交于点 M，且它们的 斜率之积为2.()求动点 M 的轨迹方程;()若过点1( ,1)2N 的直线l交动点 M 的轨迹于 C、D 两点, 且 N 为线段 CD 的中点，求直线l的方程.6已
4、知(0,2)M，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，APPB uuu ruu u r ，0MA APuuu r uuu r .（）当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；（）过( 2, 0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线1l、2l，当12ll，求直线l的方程.xyOPQREFTBA NMF2F1yx o7已知点 C 为圆8) 1(22yx的圆心，点 A（1，0） ，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且.2, 0AMAPAPMQ（）当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；（）若直线12kkxy与（）中所求点 Q的轨迹交于不
5、同两点 F，H，O 是坐标原点，且43 32OHOF ，求FOH 的面积8如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222 baby axC的离心率 e3 2，左右两个焦分别为21FF、过右焦点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C相交 M、N 两点，且|MN|=1() 求椭圆C的方程； () 设椭圆C的左顶点为 A,下顶点为 B，动点 P 满足4PA ABmuu u r uuu r ， （mR）试求点 P 的轨迹方程，使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C上. 9已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过2,0A 、2,0B、31,2C三点（）求椭圆E的方程；（）若直线l：1yk x（
6、0k ）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线4x 上 10如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与 抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点.()设点 P 分有向线段AB所成的比为 ，证明);QBQA(QP()设直线 AB 的方程是 x2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物 线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.参考答案参考答案1解（1）已知双曲线实半轴 a1=4，虚半轴 b1=25，半焦距 c1=62016，椭圆的长半轴 a2=c1=6，椭圆的半焦距 c2=a1=4，椭圆的短半轴2b=204622，
7、所求的椭圆方程为362x1202 y（2）由已知)0 , 6(A,)0 , 4(F，设点 P 的坐标为),(yx，则), 4(), 6(yxFPyxAP由已知得22213620 (6)(4)0xyxxy 则018922 xx，解之得623xx或 ， 由于 y0，所以只能取23x ，于是325y ，所以点 P 的坐标为325,239 分（3）直线063:yxAP，设点 M 是)0 ,(m，则点 M 到直线 AP 的距离是26m，于是626mm， 又点 M 在椭圆的长轴上，即 66m2m当2m时，椭圆上的点到)0 , 2(M的距离2 22222549(2)4420()15992xdxyxxx又66
8、x 当29x 时，d 取最小值152解：（1）由34sin|cos,sin34|,sin|2132tFPOFFPOFFPOFFPOF 由得 ，得.34tant3 分, 03tan1344QQt夹角的取值范围是（3,4）6 分（2）).0 ,(),(),(0000cOFycxFPyxP则设2 000000(,) ( ,0)()( 31)314 3| | 2 32OFPOF FPxc ycxc ctcxcSOFyyc uuu r uu u ruuu r8 分2222 004 34 3|( 3 )()2 32 6OPxyccccuuu r10 分当且仅当)32, 32(,62| ,2,343OPOP
9、ccc此时取最小值时即)3 , 2() 1 , 0()32 , 32(33OM或) 1, 2() 1 , 0()32, 32(33OM12 分 椭圆长轴12, 48)03()22()03()22(222222baa或2171,2171171)01()22()01()22(222222baa故所求椭圆方程为1121622 yx.或12171 217922 yx14 分 3(1)解: 依题意,可设直线 AB 的方程为 y=k(x1)3, 代入 3x2y2=, 整理得(k23)x22k(k3)x(k3) 2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程的两个不同的根,=4(k
10、23)3(k3)20.且 x2x1= , 由 N(1,3)是线段 AB 的中点, 得 =1 , k(k3)=k232k(k3) k23x1x2 2解得 k=1, 代入得 12, 即 的取值范围是(12, ), 直线 AB 的方程为 y3=(x1),即 xy4=0(2)CD 垂直平分 AB, 直线 CD 的方程为 y3=x1, 即 xy2=0,代入椭圆方程, 整理得 4x24x4=0 又设 C(x3,y3),D(x4,y4),CD 的中点 C(x0,y0), 则 x3,x4 是方程的两根, x3x4=1, 且 x0= (x3x4)= , y0 =x02 = , 即 M( , )1 21 23 2
11、1 23 2(3)由弦长公式可得|CD|= |x1x2|= 1 + ( - f(1,k)22(3)将直线 AB 的方程 xy4=0,代入椭圆方程得 4x28x16=0 同理可得|AB|= |x1x2|= 1k22(12)当 12 时, , |AB|12, 使得 A、B、C、D 四点共圆, 则 CD 必2(3)2(12)为圆的直径, 点 M 为圆心, 点 M 到直线 AB 的距离为d= = = . 于是由、式和勾股定理可得.|x0y04|2|123 24|23 22|MA|2=|MB|2=d2 |2 = = = |2. 故当 12 时, A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, | AB 29
12、212 23 2CD 2CD 2为半径的圆上.4.解： （） 0，则 x1x2y1y20， 1 分OPOQ又 P、Q 在抛物线上， y122px1，y222px2， y1y20， y1y24p2 ，y122py222p |y1y2|4p2， 3 分 又|y1y2|4，4p24，p=1 4 分 （）设 E(a,0） ，直线 PQ 方程为 xmya , 联立方程组 , 5 分xmyay22px)消去 x 得 y22pmy2pa0 , 6 分 y1y22pa , 7 分设 F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知： y1y32pb , 8 分由、可得 , 9 分y3y2ba若 3，设 T(c,0)，
13、则有TRTQ(x3c,y30)3(x2c,y20), y33y2 即 3, 10 分y3y2将代入，得 b3a 11 分又由（）知，0 ,OPOQ y1y24p2，代入， 得2pa4 p2 a2p, 13 分 b6p,故，在 x 轴上，存在异于 E 的一点 F(6p,0)，使得 3 14 分TRTQ注：若设直线 PQ 的方程为 ykxb，不影响解答结果5解: ()设( , )M x y1 分因为2AMBMkk ,所以2111yyxxx .3 分化简得:22221xyx . .4 分() 设1122( ,),(,)C x yD xy当直线lx 轴时,直线l的方程为1 2x ,则1616( ,),( ,)2222CD ,其中点不是 N,不合题意6 分设直线l的方程为11()2yk x 将1122( ,
