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1、圆与椭圆内定点分弦成定比问题的探究安徽省合肥市第一中学 刘 娟 ( 邮编:230601)直线与圆、 椭圆的位置关系是高中数学教学的重难点, 也是高考中重点考查的对象.关于直线与圆的位置关系, 有许多很好的性质, 其中有一个大家熟知的重要结果: 过圆内不在圆心的一点P, 有无数条弦, 其中以P为中点的弦有且仅有一条.受此结果启发, 笔者考虑下面一个有趣的问题: 给定一个定比a, 圆内一点P(P不在圆心) , 能否做出一条过P的弦AB, 使得P分AB所成比例恰为a呢? 满足条件的弦若存在有几条呢? 本文将对该问题进行深入探究, 得到一个有趣的结论, 完全解决了该问题, 同时把该结论类比推广到了椭圆
2、的情况, 并给出定理的一个应用, 最后给出可继续研究的问题.在此过程中, 体现了数形结合, 联想类比等重要数学思想.1 主要结果定理1 设P(x0,y0)为圆mx2+my2=1(m 0)内除圆心外一定点, 设P分过P点的弦AB所成比例为a.记=1-mx2 0-my2 0,=a+1 a-2, 显然0 4(1 -1) 时, 没有满足条件的弦.证明 ( 受篇幅所限, 在本定理证明过程中,总假设满足定理条件的弦的斜率存在且为k, 对于斜率不存在的特殊情况, 均可采用类似的方法进行证明, 甚至更简单, 其结果均已被包含在本定理的结果中, 这里就不在赘述).设弦所在直线的参数方程为x=x0+ty=y0+k
3、t,联立圆方程mx2+my2=1, 化简得m(1 +k2)t2+ 2m(x0+y0k)t-=0因为P(x0,y0)在圆内部, 所以弦必与圆有两个不同交点A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 所以存在两个不同实根t1、t2, 由韦达定理可得t1+t2=-2(x0+y0k) 1 +k2,t1t2=- m(1 +k2)0, 方程有两个不同实根k1,2=-4mx0y0 4my2 0-, 满足条件的弦有且仅有两条, 其方程分别为l1: (4my0x0-)x+(4my2 0-)y=(4my0x0-)x0+(4my2 0-)y0,l2: (4my0x0+)x+(4my2 0-)y=(4my0x0+)x0
4、+(4my2 0-)y0当 4(1 - 1)时, 0,n 0,mn) 内除坐标原点O外任意一点,P分过P点的弦AB所成比例为a.记=1-mx2 0-ny2 0,=a+1 a-2, 显然0 01 -2b0b 0)0 01 3b4(1 -1) 时, 没有满足定理条件的弦.评注(i) 由定理2的结论可以看到, 定理1可以看成是定理2中当m=n的特殊情况.(ii)值得注意的是, 无论是圆还是椭圆, 当取最小值0时, 弦以P为中点, 当取最大值4(1- 1)时, 弦过中心.特别地, 当弦过中心时,由=a+1 a-2易知, 关于a的方程a+1 a-2=4(1-1) 有两个解amax、amin( 满足ama
5、xamin=1) ,分别对应了P分弦AB所成比例的最大、 最小值.(iii)定理2的几何意义也很明显, 类似于圆的情形, 读者可仿照画图理解, 这里不再赘述.3 定理的一个应用例 已知椭圆方程为x24+y2=1,P(1,0)为椭圆内一定点, 问是否存在过点P的弦AB, 使得P分AB所成比例为2 3, 若存在, 求出AB所在直线的方程; 若不存在请说明理由.解 因为m=1 4,n=1, 所以=1-1 412=3 4,=2 3+3 2-2=1 6,4(1 -1)=4(4 3-1)=4 3, 所以有0 4(1-1) , 由定理2知, 满足条件的弦存在且有两条, 计算易得=7 256, 所以由定理2知
6、这两条弦所在直线方程分别为7x+2y= 7和7x- 2y= 7 . 评注 从本例题的求解可以看到, 定理2对解决椭圆内定点分弦成定比问题是非常快速有效的, 本例题也可采用一般的方法进行求解, 但由于比例2 3是个分数, 所以计算量偏大, 读者不妨一试.4 可继续研究的问题 (1)本文只考虑了P(x0,y0)在圆或者椭圆 内的弦与分比之间的关系, 那么当P(x0,y0)在 圆或者椭圆外时, 其弦与分比之间有何关系是个值得探究的问题;(2)抛物线和双曲线也是两类重要的二次曲线, 那么本文的讨论能否推广到抛物线和双曲线中去也是值得下一步探究的问题.( 收稿日期:2014 - 01 - 08)04中学数学教学2014年第2期
