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1、本资料来源于本资料来源于七彩教育网七彩教育网http:/http:/ 九年级数学动态几何例析九年级数学动态几何例析山东微山昭阳二中曹继汶山东微山昭阳二中曹继汶图形的运动变化问题。【典型例题典型例题】例例 1：如图，正方形 ABCD 内一点 P，PADPDA15，连结 PB、PC，请问：PBC 是等边三角形吗？为什么？研析研析：本题关键是说明PCDPBA30，利用条件可以设想将 APD 绕点 D 逆时针方向旋转 90，而使 A 与 C重合，此时问题得到解决.解：解：将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90，得 DPC，再作 DPC 关于 DC 的轴对称图 形 DQC，得 CDQ 与 ADP 经过对
2、折后能够重合.这里，PD=QD,PDQ=90-15-15=60，则PDQ 为等边三角形，故PQD=60.又DQC=APD=180-15-15=150，则PQC=360-60-150=150=DQC,，.，例 22008 湖南.PBC 为等边三角形. 在平面直角坐标系中，一动点 P（ ，y）从x M（1，0）出发，沿由 A（-1，1） ，B（-1，-1） ，C（1，-1） ，D（1，1）四点组成的正方 形边线（如图）按一定方向运动。图是 P 点运动的路程 s（个单位）与运动时间 （秒）t 之间的函数图象，图是 P 点的纵坐标 y 与 P 点运动的路程 s 之间的函数图象的一部分.P（1）s 与
3、之间的函数关系式是： ；t（2）与图相对应的 P 点的运动路径是： ；P 点 出发 秒首次到达点 B； （3）写出当 3s8 时，y 与 s 之间的函数关系式，并在图中补全函数解(1)S=(t0) (2)MDAN，t2110(3)当 3s5，即 P 从 A 到 B 时，y=4-s； 当 5s7，即 P 从 B 到 C 时，y=-1； 当 7s8，即 P 从 C 到 M 时，y=s-8补全图象略（1例 3. 如图，AB 是 O 的直径，O 过 AE 的中点 D，DCBC，垂足为 C。（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过 程中所连辅助线不能出现在结论中，不写
4、推理过程，写出 4 个结论即可）（2）若ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结 论？并画出图形。 （要求：写出 6 个结论即可，其它要求同（1） ）分析：分析：（1）ABBEDCCEAEDC 为O 切线（2）若ABC 为直角则AE45，DCBCDCAB，DCCE，BE 为O 的切线DCABBE1 21 2例 4. 在直径为 AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为 AB，顶点 C 在半 圆上，现要建造一个内接于ABC 的矩形水池 DEFN，其中 DE 在 AB 上，如图的设计方 案是 AC8，BC6。（1）求ABC 中 AB 边上的高 h；（2）设 DN
5、x，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？分析：分析：（1）AB 为半圆直径ACB90AC8，BC6AB10ABC 中 AB 边上高 h4.8m（2）设 DNx，CMh4.8则 MPxNF ABCP CMNFx 1048 48. .NFx1025 12SNDNF xxxxxx()()1025 12 25 121025 1224 522当x 12 5时，水池面积最大。例 5. 正方形 ABCD 的边长为 6cm，M、N 分别为 AD、BC 中点，将 C 折至 MN 上，落 在 P 处，折痕 BQ 交 MN 于 E，则 BE_cm。分析：分析：BPQBCQBPBC6连接 PC，BPPC（M
6、、N 为中点）BPC 为等边三角形PBC60，又QBCPBC1 230在 RtBEN 中，BN3BE 2 3例 6.一束光线从 y 轴上点 A（0，1）出发，经过 x 轴上点 C 反射后经过点 B（3，3） ， 则光线从 A 点到 B 点经过的路线长是 。分析：分析：A（0，1） ，B（3，3） ，则 OA1过 B 作 BMx 轴于 M则 BM3，OM3又AC 与 CB 为入射光线与反射光线AOCBCMAOCBMCAO BMOC CM1 33OC OCOC 3 4AC 5 4同理：BC15 4ACBC20 45例 7 在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于
7、 D，BEMN 于 E.（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DEADBE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DEADBE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关 系？请写出这个等量关系，并加以证明。分析：分析：（1）ADMNBEMNADCCEB90DACDCA90又ACB90DCAECB90DACECBACBCADCCEBDCBEADCEDEDCCEBEAD（2）与（1）同理ADCCEBCDBEADCEDECECDADBE（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 位置时与（
8、1） （2）同理可知CEAD，BECDDECDCEBEAD例 8. 把两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起（如图） ，且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现将三角板 EFG绕 O 点顺时针旋转（旋转角 满足条件：090)，四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图） 。（1）在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系？四边形 CHGK 的面积有何变 化？证明你发现的结论；（2）连接 HK，在上述旋转过程中，设 BHx，GKH 的面积为y，求y与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3
9、）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH 的面积恰好等于ABC 面积的5 16？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。分析：分析：（1）在上述旋转过程中，BHCK，四边形 CHGK 的面积不变. 证明：证明：连结 CGABC 为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点CGBG,CGABACGB45BGH 与CGK 均为旋转角，BGHCGKBGHCGKBHCK,SBGHSCGKS四边形 CHGKSCHGSCGKSCHGSBGH SABC 444即：S四边形 CHGK的面积为 4，是一个定值，在旋转过程中没有变化（2）ACBC4，BHx，CH4x，CKx由 SGHKS四边形 CHGKSCH
10、K，得y14(4)2xxyxx1 2242090， 0x4（3）存在。根据题意，得1 2245 1682xx解这个方程，得xx1213，即：当x 1或x 3时，GHK 的面积均等于ABC 的面积的5 16。例 9. 经过O 内或O 外一点 P 作两条直线交O 于 A 上和 C、D 四点（在图、 中，有重合的点） ，得到了如图所表示的六种不同情况。（1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可 以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的 一般情况，给出它的证明；（2）已知O 的半径为一定值，若点 P 是不在O 上的一个定点，请
11、你过点 P 任作 一直线交O 于不重合的两点 C、D，PCPD 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什 么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。分析：分析：（1）PAPBPCPD证明：证明：连接 AC、BD则ACPDBPAP DPCP BPAPBPCPDP （2）PCPD 的值为定值 （当 P 在圆外时）借助图，过 P 作O 切线 PA则PAPCPD2（连接 PO 交O 于 E,并延长交O 于 F 时）又有222()()PAPE PFOPr OPrOPrPCPDPEPFOPr22（当 P 在圆内时）借助图， 连接 OP 并延长分别交O 于 E，F 时22PC PDPE PFrOPg例 10. 如
12、图所示，AB 是半圆 O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动（不与点 M 重合） ，点 Q 在半圆 O 上运动，且总保持 PQPO，过点 Q 作O 的切线交BA 的延长线于点 C。（1）当QPA60时，请你对 QCP 的形状做出猜想，并给予证明。（2）当 QPAB 时，那么 QCP 的形状是_三角形。 （3）由（1） 、 （2）得出的结论，请进一步猜想当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置 时，QCP 一定是_三角形。分析：分析：（1）QCP 是等边三角形证明：证明：连接 OQ，则CQ 为O 切线CQOQ，CQO90PQPO，QPC60POQPQO30C903
13、060CQPCQPC60QPC 是等边三角形（2）等腰直角三角形（3）等腰三角形例 11. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中A=60，AC=1. 固定 ABC 不动，将DEF 进行如下操作：(1) 如图 11(1)，DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动)，连结 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 11(2)，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 11(3)，DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转D
14、EF， 使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连结 AE，请你求出 sin 的值.解：(1)过 C 点作 CGAB 于 G， 在 RtAGC 中，sin60=，AB=2，S梯形 CDBF=SABC=ACCG 23CG23 23221(2)菱形CDBF， FCBD，四边形 CDBF 是平行四边形 DFAC，ACD=90，CBDF 四边形 CDBF 是菱形 (判断四边形 CDBF 是平 行四边形，并证明正确， (3)解法一：过 D 点作 DHAE 于 H，则 SADE=又 SADE=， 233121EBAD2123 21DHAE)721( 733或AEDH在 RtDHE中，sin=)1421( 723或DEDHABEFCD图 11(1) ABEFCDAB(E)(F)CDE(F)ABEFCD G解法二：ADHABEAEAD BEDH即： 713DH 73DHsin=)1421( 723或DEDH【模拟试题模拟试题】一、填空题：1. 方程()x 212的根是
