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1、高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 1 页 共 12 页特征方程法求解递推关系中的数列通项一、 （一阶线性递推式）设已知数列 的项满足 ,nadcabn11,其中 求这个数列的通项公式。,10c采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 称之为特征方程；,dcx借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为 ，则当 时，010a为常数列，即 ，
2、其中 是以 为公na101,; xbaxann 时当 nbc比的等比数列，即 .0,cbn证明：因为 由特征方程得 作换元 则,c1cdx,0xan.)(01 nnn cbadaxb 当 时， ，数列 是以 为公比的等比数列，故0bb;1nc当 时， ， 为 0 数列，故 （证毕）10axn .N,1na下面列举两例，说明定理 1 的应用.例 1已知数列 满足： 求n ,4,231ann .na解：作方程 .,230xx则当 时，41a21101b数列 是以 为公比的等比数列.于是nb .N,)3(23,)(2)3(11 nbann高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！
3、嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 2 页 共 12 页例 2已知数列 满足递推关系： 其中 为虚na ,N,)32(1nian i数单位。当 取何值时，数列 是常数数列？1a解：作方程 则 要使 为常数，即则必须,)32(ix.560in.5601xa二、（二阶线性递推式）定理 2：对于由递推公式 ，nnqapa12给出的数列 ，方程 ，叫做数列21,na02qx的特征方程。na若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为21,x21xna，其中 A，B 由 决定（即把12nnA,a和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程12,xa, 121nnx组）；当 时，数列 的通项为
4、 ，其中 A，B 由2n 1)(nn决定（即把 和 ，代入1, 21,xa,，得到关于 A、B 的方程组）。1)(nnxBAa例 3：已知数列 满足na，求数列 的通),0(25,1221 Nnabn na项公式。解法一（待定系数迭加法）由 ，得0312nna，)(且 。b12高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 3 页 共 12 页则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是na1b32。把 代入，得1)32(na n,，12，)(3ab，243a。21)(nnab把以上各式相加，得。)3()(3)( 21 nna
5、 )(31)abn。babnnn )()()21解法二（特征根法）：数列 ：n， 的特征方程是：),0(25312 Naann ba21,。x,3,21。121nnBxAa1)3(n又由 ，于是b1,)(322aBAb高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 4 页 共 12 页故 1)32(23nnbaba三、(分式递推式)定理 3：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对na1a于 ，都有 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且Nnhrpann1） ，那么，可作特征方程 .rqph1,0xqp（1）当特征方程有两个相
6、同的根 （称作特征根）时，若 则,a;,n若 ，则 其中1 ,N,1bn特别地，当存在 使 时，.,)(1rpabn ,N0n0nb无穷数列 不存在.n（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则12，1nca,N其中 ).(,)( 211221 anrpn 其 中例 3、已知数列 na满足性质：对于 且 求,324,N1nna,1的通项公式.na解:依定理作特征方程 变形得 其根为,324x,02x故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部分，.,12高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 5 页
7、 共 12 页则有 .N,)21(3)( 11221 nrpacnn .N,)51nn .,1)5(212ncann即 .N,)5(24nn例 5已知数列 满足：对于 都有na, .3251nna（1）若 求,1;n（2）若 求3a（3）若 求,61;n（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？na解：作特征方程 变形得.325x,02512x特征方程有两个相同的特征根 依定理 2 的第（1）部分解答.(1) 对于 都有.,511a,Nn;na(2) 3 rpnabn)1(15353高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第
8、6 页 共 12 页,812n令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，0nb5na当 4， 时， .N17bn(3) ,561a.1a .,81)(1 Nnrpnbn 令 则 对于,0n.7.0b,n .,743581nban(4)、显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第（ 1）小31题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有5ana51a令 则得.N,81)1(1 rpnbn ,0nb且 2.N,35a当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便11n na不存在.于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷1a3,:15n数列 都不存在.n练习题：求下列数列的
9、通项公式：1、 在数列 中， ，求 。na,7,12a)3(21nanna高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 7 页 共 12 页（key： ）21)(32nna2、 在数列 中， 且 ，求 。 （key：n,5,21a214nnan）)4(33、 在数列 中， ，求 。na,7,321 )3(321nn na（key： ）4、 在数列 中， ，求 。 （key ：n,21annna312）)3(47na5、 在数列 中， ，求 。n,5,21 )4(12nnna（key： ）n6、 在数列 中， ，且 .求na,2
10、1bannqpa12 1p.（key： 时， ； 时，q)(n）ban1)(17、 在数列 中， （n ,2ba0)(12nnqap是非 0 常数）.求 .（key： (qp,n bn)()； ）( )ban)1qp8、在数列 中， 给定， .求 .(key:2, 21nnca；若 ，上式不1221)(caann )(高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 8 页 共 12 页能应用，此时， .)2()1( 12nnn aa附定理 3 的证明定理 3(分式递推问题)：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于na1a，都有
11、 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且Nnhrpann1） ，那么，可作特征方程 .rqph1,0xqp（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，若 则 若 ，则 其中,a;N,n1a,N,1nbn特别地，当存在 使 时，.,)(1rpbn ,00nb无穷数列 不存在.na（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则12， 其中1nca,N).(,)( 211221 anrpn 其 中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换 N,nadn则 hrqpnn1高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 9
12、 页 共 12 页hraqpn)(dn)(rhqprpnn)(2 是特征方程的根， .0)(2qphr将该式代入式得 .N,)(1nhrdpnn将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故rpx,qrqrph特征方程的根 于是 ,.0rp当 ，即 = 时，由式得 故01d1da ,N,0nb.N,nan当 即 时，由、两式可得 此时可对11 .,dn式作如下变化：.1)(1 rprphrdnn 由 是方程 的两个相同的根可以求得xq.2rhp ,12hprphr将此式代入式得 .N,1nrdn高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 135771
13、03702 第 10 页 共 12 页令 则 故数列 是以.N,1ndbn .N,1nrpbnnb为公差的等差数列.rp .N,)1(nrpnbn其中 .11ad当 时，0,Nnb.N,1nbdn当存在 使 时， 无意义.故此时，,00n 000nna无穷数列 是不存在的.na再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 、 ，其中必有一个特征根不等于12，不妨令 于是可作变换1a.12a.N,21nacn故 ，将 代入再整理得21nchrqpnn1N,)(2211 qrpan由第（1）部分的证明过程知 不是特征方程的根，故rpx.,2r故 所以由式可得：.0,21rp高考数学专题讲座 授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 11 页 共 12 页N,21211 nrphqarpcnn特征方程
