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1、 單元單元A6： 多項式及方程 ： 多項式及方程 特定目標： 特定目標： 1. 學習單變數的實係數多項式的性質。 2. 學習除法算式、余式定理和歐幾裏德演算法與及它們的應用。 3. 分解有理函數為分項分式。 4. 學習單變數的實係數多項式方程的根的性質。 內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 25 6.1 單變數的實係數多項式 單變數的實係數多項式 6.2 有 理 函 數 有 理 函 數 5 4 學生應學習單變數的實係數多項式的一般式和下列各項名稱： 非零多項式的次、首項係數、常數項、首一多項式、零多項式。 學生亦應學習兩多項式的等式、和、差及積。 由定義可知，對非零多項式 f(x)
2、、 g(x) deg f(x) g(x) = deg f(x) + deg g(x) 和deg f(x) + g(x) max deg f(x)，deg g(x)。 應定義兩非零多項式的最高公因式 (G.C.D. 或 H.C.F.)。 學生應清楚除法算式和歐幾裏德演算法的分別。由除法算式可證明余式定理，因學 生在中學時巳學習余式定理，固教師可給予較深的題目。歐幾裏德演算法是求兩多項式 的最高公因式的一種方法，教師應給予學生練習一些求兩多項式的最高公因式的題目。.應首先定義有理函數。學生可能初次接觸分項分式，教師可引用一簡單例子，如 1x1 x1 ) 1x(x1 +=+。 x1和 1x1 +稱為
3、分項分式。 教師應清楚說明分解真有理函數為分項分式的法則，並舉例說明。應舉例強調及說 明，若一有理函數為假有理函數時，應先將它表為一多項式及真有理函數的和。 42 表示刪去的內容內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 26 6.3 單變數的實係數多項式方程 單變數的實係數多項式方程 6 學生應學習分項分式的應用。 例： 1. 表32)2x)(1x(9x8x +為分項分式。 2. 分解)ax)(ax(x 224+為分項分式。 3. 計算 =+n1r) 1r ( r1的值。 對於二次方程0cbxax2=+)0a ( 與及它的根、，學生應熟悉下列關係： + =ab， =ac。 對一般n次多項
4、式方程， 或 ， 0011 1=+= axa.xaxa)x(fn nn n0xan0kkk= = 下列定理給出係數與根的關係： 若 1，2，n 為多項式方程f(x) = 0的根，則一切可能的k個根j (k = 1，2， . . .，n) 的乘積的和Sk等於 nknk aa) 1(， 即是，如 f(x) = an (x 1) (x 2) (x n) 則 S1=1+2+ +n =n1n aa S2=12+ 23+n-1n =n2n aaS3=123=n3n aa 內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 Sn=12 n=n0n aa) 1(。 學生應仔細學習下列性質： (i) 非零多項式的相
5、異根的數目小於或等於多項式的次。 (ii) 若一個整數係數多項式方程的根為有理數qp，其p 和q是互素的整數，則p整除多項式的常數項，而q整除多項式的首項係數。 (iii) 多重根的條件： x = 是多項式方程f(x) = 0的多重根的充要條件是f() = 0， 且是方程f(x) = 0 的根，其中f(x)是f(x)的導數。 以下是較為一般的形式： 對於正整數k，是方程f(x) = 0的k + 1重數根當且僅當f() = 0 ， 並且為 f(x) = 0的k重數根。 和 為方程f(x) = 0 的k+1重數根當且僅當為下列方程公根： f(x) = 0， f(x) = 0， ? 但 不是的根。 0(f)k(=)x(fk(=)x) 1+0注：以共軛偶出現的複數根會在單元A10複數中學習。 27 15 43 表示刪去的內容
