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1、九年级数学九年级数学寒假作业探究题寒假作业探究题1、如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，)0(33) 1(2axay( 2)A ，0D过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半OOMADDxOMCBx 轴上，连结BC （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的POOMP时间为问当 为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？( )t stDAOP（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒 1 个长度OCOBPQOB单位和 2 个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之OCBO停止运动设它们
2、的运动的时间为，连接，当 为何值时，四边形的面积t( ) sPQtBCPQ最小？并求出最小值及此时的长PQxyMCDPQOAB2、如图 16，在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直 平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的
3、时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 ACBPQED图 163、阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂 直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水 平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂
4、高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高ahSABC21乘积的一半.解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及；CABS(3)是否存在一点 P，使 SPAB=SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明89理由.图 12-2xCOyABD 11BC铅垂高水平宽h a 图 12-1A2O60204批发单价（元）
5、5批发量（kg） 图（图（1）O6240日最高销量（kg）80零售价（元）图（图（2）48（6，80）（7，40）4 4、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示 （1）请说明图中、两段函数图象的实际意义 【解】（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
6、 使得当日获得的利润最大 【解】金额 w（元）O批发量 m（kg）3002001002040605 5、 ）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG图
7、DFBADCEG图FBACE图6、在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正OABCACyx半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线OOABCOA 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点yxAByxMBCx （如图）.N （1）求边在旋转过程中所扫过的面积；OA （2）旋转过程中，当和平行时，求正方MNAC 形旋转的度数；OABC（3）设的周长为，在旋转正方形MBNpOABC 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.p OABCMNyxxy7、如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，（1）求正比例函数和反比例函数的
8、解析式；（2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次(6)Bm，m函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的xy 二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使凸四边形 OECD 的面积与四边形 OABD 的面积 S 满足：？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说1S12 3SS明理由 yxOCDBA 3368、如图，已知抛物线经过，两点，顶点为2yxbxc(10)A ，(0 2)B ，D（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转 90后，点落到点的位置，将抛物线沿轴
9、平移OABABCy后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；C（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的y1B1DN抛物线上，且满足的面积是面积的 2 倍，求点的坐标1NBB1NDDNyxBAOD答案：答案：1、解：（1）抛物线经过点，Q2(1)3 3(0)ya xa( 2 0)A ，二次函数的解析式为：3093 33aa 232 38 3 333yxx （2）为抛物线的顶点过作于，则，DQ(13 3)D，DDNOBN3 3DN 2233(3 3)660ANADDAO，OMADQ当时，四边形是平行四边形ADOPDAOP66(s)OPt 当时，四边形是直角梯形DPOMD
10、AOP过作于，则OOHADH2AO ，1AH （如果没求出可由求）60DAORtRtOHADNA1AH 55(s)OPDHt当时，四边形是等腰梯形PDOADAOP26244(s)OPADAHt 综上所述：当、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形6t （3）由（2）及已知，是等边三角形60COBOCOBOCB，则6262 (03)OBOCADOPtBQtOQtt ，过作于，则PPEOQE3 2PEt=1136 3 3(62 )222BCPQStt 233633228t当时，的面积最小值为3 2t BCPQS6338此时33393 33324444OQOPOEQEPE，= ，
11、22 223 393 3 442PQPEQExyMCDPQOABNEH2解：（1）1，8 5； （2）作QFAC 于点F，如图 3， AQ = CP= t，3APt由AQFABC，22534BC ， 得45QFt4 5QFt 14(3)25Stt，即226 55Stt （3）能当 DEQB 时，如图 4DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90由APQ ABC，得AQAP ACAB，即3 35tt 解得9 8t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时APQ =90由AQP ABC，得 AQAP ABAC，即3 53tt 解得15 8t （
12、4）5 2t 或45 14t 3、解：(1)设抛物线的解析式为：4) 1(2 1xay把 A（3,0）代入解析式求得1a所以324) 1(22 1xxxy设直线 AB 的解析式为：bkxy2由求得 B 点的坐标为 322 1xxy)3 , 0(把，代入中)0 , 3(A)3 , 0(Bbkxy2解得：3, 1bk所以32xy(2)因为 C 点坐标为(,4)ACBPQED图 4AC)BPQD图 3E)FACBPQED图 5AC(E)BPQD图 6GAC(E)BPQD图 7G金额 w（元）O批发量 m（kg）300200100204060240所以当 x时，y14，y22所以 CD4-22(平方单
13、位)32321CABS(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则xxxxxyyh3)3()32(22 21由 SPAB=SCAB89得：389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将代入中，23x322 1xxy解得 P 点坐标为)415,23(4、 （1）解：图表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果， 可按 5 元/kg 批发；3 分 图表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发（2）解：由题意得：，函数图象如图所2060605 4mmwmm （） ）（示 由图可知资金金额满足 240w300
14、时，以同样的资金可批发到较 多数量的该种水果 （3）设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 32040wm当 m60 时，x6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040 )40 (6)4yxmx当 x6 时，此时 m80160y最大值即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元5、解：（1）证明：在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= FD同理，在 RtDEF 中， EG= FD CG=EG（2） （1）中结论仍然成立，即 EG=CG连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与DCG 中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG 与FNG 中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG在矩形 AENM 中，AM=EN在 RtAMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG（3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有:EGCG10 分6.（1）解：点第一次落在直线上时停止旋转，旋转了.AyxOA045
