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1、大的迷糊,小的精明?沈淵源摘要: 提出伸縮因子法來幫助我們證明不等式。1. 簡介不等式在我們研讀數學的過程中, 遇到的機會實在不少。 打從進入微積分的殿堂, 為著證明而找那對應於 的 值; 不僅僅碰了一鼻子的灰, 有時甚至是遍體鱗傷。 我們也經常為著證明一個看似不太複雜的不等式而絞盡腦汁, 廢寢忘食的想盡種各種辦法尋求一解決的途徑, 投下了不少的時間與精力; 但問題總是在一個節骨眼上豁然開朗。 在這裡, 我們想提出一個方法稱之為伸縮因子法來說明這關鍵所在, 提供給諸位在解決不等式問題上的一個參考。2. 構造分析法要證明不等式 x y, 大致上可分為兩個方法。 第一個方法是在各類的問題上分析其構
2、造, 略施一點技巧, 直截了當的就可以解決。 我們姑且稱之為構造分析法。 在此我們舉一個比較複雜一點的問題來說明。 在初等微積分中, 為了估計尤拉數 e, 有個重要的不等式如下:(1 +1 n)n0。由此可以證明 logx 是一個由 (0,) 映成 (,) 的一對一函數; 所以必定存在唯一的正數 y, 使得 logy = 1, 我們就把這個唯一的正數用 e 來表示。2. 再看看不等式 (1) 中的三個數 (1+1 n)n,e 及 (1+1 n)n+1, 對我們來說是是挺抽象的, 而且也不太友善, 很難加以控制; 因為都是指數函數的值。 但指數函數跟對數函數是互為反函數, 且都是遞增函數; 最重
3、要的是對數函數如上所定義的, 對我們來說是非常的具體, 可以感覺甚至可以捉摸得到。loga(a 1) 是雙曲線 xy = 1,x-軸與垂直線 x = 1, x = a 所包圍區50大的迷糊,小的精明?51域的面積。 所以, 很自然的我們就引進自然對數。3. 由 log 函數的遞增性, 我們有下列等價的不等式:(1 +1 n)n e (1 +1 n)n+1 nlog(1+1 n)1(n+1)log(1+1 n)1 n + 1 log(1+1 n)1 n。現在這三個數 1/(n + 1), log(1 + 1/n)及 1/n, 比前面那三個好多了。 怎麼說呢? 首先, log(1 + 1/n) 這
4、個數代表函數 f(x) = 1/x 圖形底下從 x = 1 到x = 1 + 1/n 所包圍區域 R 的面積, 也就是下面這個定積分的值:log(1 +1 n) =Z1+1 n11 xdx。4. 因為1 x在區間 1,1+1/n 是遞減的, 所以可得下列等價的不等式:n n + 1=1 1 +1 n1 x1 1= 1Z1+1 n1n n + 1dx Z1+1 n11 xdxZ1+1 n11dx1 n + 1 log(1 +1 n) 1 n。(2)這證明了不等式 (1) 是對的, 而證明非常簡單。5. 如果我們從幾何的角度來看這個不等式,那更是不言而喻。 令 R1及 R2分別為上述區域 R 的內
5、接及外接長方形區域, 則R1的面積就是 1/(n + 1), 而 R2的面積就是1 n。 當然區域 R 的面積 log(1 + 1/n) 是介於這兩個數之。由上面的分析我們看到, 同樣一個問題由於觀察角度不同, 使得難易程度差異很大。 不等式 (1) 與不等式 (2) 是同一個問題的兩面。當我們從 (1) 的角度去看, 似乎是遙不可及;但從 (2) 的角度去看, 卻是垂手可得。3. 代數的方法好了, 回到我們的正題來談第二種方法。證明不等式 x y, 只證明 xy 0 就可以了。 此法看來簡單, 說說容易, 但做起來可就是另外一回事了。 一般而言, 很自然的會去用實數的平方大於零的性質來解決我
6、們的問題。由於技巧的不同, 又可分為三種方法。其一為硬性的方法, 即將 x y 配成一或多個實數的平方和。 例如, 當我們證明算術平均數大於幾何平均數時, 就是用到這個方法。 令 a,b 為正實數, 則 a + b 2ab=1 2(a + b 2ab)=1 2(a)2 2ab + (b)2=1 2(a b)2 0。其二為變大法, 可能 xy 雖然是正的, 但太小了; 小的使我們迷糊而無法看清 xy 是正的。 這個時候我們就提出一個比1小的正數 使 xy 變大為 1(xy), 或許可以更清楚的看出此數為正數。52數學傳播22卷4期 民87年12月其三為變小法, 可能x y 中的正數部分太大了;
7、大的使我們迷糊而無法看清x y 是正的。 這個時候我們就反其道而行,將 x y 中的正數部分乘以一個較1為小的正數 使其變小, 或許可以更清楚的看出此數為正數。為了說明上面這兩種方法, 我們看看下面的實例。 令 為一固定的正數, 且令 f 為定義於實數系上的一個複數值函數。 定義函數 g 如下:g(x) = f(x),若|f(x)| ;f(x) |f(x)|,若|f(x)| 。試證 |g(x)g(y)| |f(x)f(y)| x,y R。讓我們來分析一下, 看看如何來進行。1. 令 f(x)= a + ib, f(y) = c +id, 則 f|(x)| =a2+ b2,|f(y)| =c2+
8、 d2。 由 f(x), f(y) 的大小, 很顯然的可以分成四種情況: 其中有一種簡單至極, 有兩種類似, 所以只需討論下列兩種情況。2. 若 |f(x)| , 且 |f(y)| (亦即a2+ b2 c2+ d2), 則g(x) = a + ib,g(y) =cc2+ d2+ idc2+ d2。我們只要證明 |f(x)f(y)|2|g(x)g(y)|2 0 就可以了, 化簡之後我們有下面的等式:|f(x) f(y)|2 |g(x) g(y)|2= (ac)2+(bd)2? acc2+d2?2? b dc2+ d2?2= (c2+ d2)? 1 2 c2+ d2?2? 1 c2+ d2? (a
9、c + bd)。(3)由於 (3) 式中的值太小了, 小的使我們迷糊而無法看清 (3) 0; 所以我們將其變大, 提出 = 1 c2+d2這一個比1小的正數。(3) =? 1 c2+ d2?h (c2+ d2)? 1 +c2+ d2? 2(ac + bd)i=? 1c2+d2? (ac)2+(bd)2)+c2+ d2 (a2+ b2) 0 (因為a2+ b2 c2+ d2)。3. 若 |f(x)| , 且 |f(y)| (亦即a2+ b2 b,c2+ d2 ), 則g(x) =aa2+ b2+ iba2+ b2,g(y) =cc2+ d2+ idc2+ d2。再一次的,我們只需要證明 |f(x
10、) f(y)|2 |g(x) g(y)|2 0, 化簡之後可得等式如下:|f(x) f(y)|2 |g(x) g(y)|2= (a c)2+ (b d)2(aa2+ b2cc2+ d2)2大的迷糊,小的精明?53(b a2+ b2dc2+ d2)2= (a2+ b2+ c2+ d2) 2(ac + bd)2? 2 2(ac + bd)a2+ b2c2+ d2? 。 (4)在 (4) 式中, (a2+b2+c2+d2)2(ac+bd) 0, 但我們卻無法推知 (4) 0。 原因是這個數 (a2+b2+c2+d2)2(ac+bd) 太大了, 大的反倒使我們迷糊而無法看清問題的真相。 更確切的說,
11、這兩個正數 (a2+ b2+ c2+ d2) 2(ac + bd)與 2(2 2(ac+bd)a2+b2c2+d2) 之間的距離太遠了; 遠得使人無法洞察其間的關係。 怎麼辦呢? 有一個辦法是將第一個正數變小。 如此一來, 變小之後的數與第二個數的距離就縮短了。 請看:(4) ?2a2+ b2c2+ d2?(a2+b2+c2+d2)2(ac+bd)2? 2 2(ac + bd)a2+ b2c2+ d2?= 2?a2+ b2c2+ d2+c2+ d2a2+ b2 2?= 2?4a2+ b24c2+ d24c2+ d24a2+ b2?2 0。由於我們乘上了 =2a2+b2c2+d2, 這一個比1小
12、的正數, 將第一個數 (a2+b2+c2+d2)2(ac+bd) 變小, 亦即拉短了與第二個數 2(2 2(ac+bd)a2+b2c2+d2) 之間的距離。 使得我們能洞察其間的關係, 而(4) 0 也就顯得非常自然, 所以說“小的精明”。 究竟如何去確定伸縮因子 , 其在 (3) 式中為 1 c2+d2, 而在 (4) 式中為2a2+b2c2+d2呢? 這是一件不容易一下子就看得出來的事情。 但是有了述的原則, 就可以避免一些無謂的嘗試。 若用硬性的方法, 則需將 (4) 式整理成? 1 2a2+ b2c2+ d2?(a2+ b2+ c2+ d2) 2(ac + bd)+2?4a2+ b24c2+ d24c2+ d24a2+ b2?2 ,才能看出 (4) 0, 這就更難了。 這也是為什麼要提出“伸縮因子法”的背景。王荊公有云: “看似平常最奇絕, 成如容易卻艱難。” 當我們處理不等式問題的時候, 就常會有這種感慨。 總而言之, 不等式的證明, 千頭萬緒。 這裡我們只提出一個特殊的例子, 說一下其關鍵所在, 提供諸君將來碰到這一類問題時的一個參考。 區區之意, 僅此而已!參考文獻1. 沈淵源, 從尤拉數 e 到 Stirling 常數, 數學 傳播第二十卷第一期, 1996, 第34-45頁。本文作者任教於私立東海大學數學系
