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1、第二章第二章 2.1 2.1.1A 级 基础巩固一、选择题1数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于( B )导学号 18674126A28 B32C33D27解析 由以上各数可得每两个数之间依次差 3,6,9,12故 x201232.2下列关于归纳推理的说法错误的是( A )导学号 18674127归纳推理是由一般到一般的推理过程；归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；归纳推理具有由具体到抽象的认识功能ABCD解析 归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理3观察下列各式：112,23432,3456752,456789
2、1072，可以得出的一般结论是( B )导学号 18674128An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是 2n1(nN*)项的和，其首项为 n，右边是项数的平方，故第 n 个等式首项为 n，共有 2n1 项，右边是(2n1)2，即 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.4下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )导学号 18674129A三角形B梯形C平行四边形D矩形解析 从构成几何图形的几何元素的数目、
3、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适5观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )导学号 18674130ABCD解析 图形涉及、三种符号；其中与各有 3 个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色符号，即应画上才合适6已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式：S，可推知扇底 高2形面积公式 S扇等于( C )导学号 18674131ABr22l22CD不可类比lr2解析 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径 r，S扇 lr.12二、填空题7已知：sin2 30sin2 90sin2 150 ；sin2 5sin2
4、65sin2 125 ，通过观察3232上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin2 sin2 (60)sin2 (120) .32导学号 18674132解析 观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即 306090，9060150；56065，6560125.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin2 sin2 (60)sin2 (120) .328在ABC 中，不等式 成立，在四边形中不等式 成立，1A1B1C91A1B1C1D162在五边形中 成立，猜想在 n 边形 A1A2An中有不等式： 1A1B1C1D1E2531A11A2 1A31Ann2n2导学号 186
5、74133解析 不等式的左边是 n 个内角倒数的和，右边分子是 n2，分母是(n2)，故在 n边形 A1A2An中有不等式成立1A11A21A31Ann2n2三、解答题9设平面内有 n 条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数.导学号 18674134(1)求 f(4)；(2)当 n4 时，求 f(n)(用 n 表示)解析 (1)如图所示，可得 f(4)5.(2)f(3)2，f(4)5f(3)3，f(5)9f(4)4，f(6)14f(5)5.每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(n)f(n1)n1，累加得 f
6、(n)f(3)345(n1)2345(n1) (n1)(n2)12B 级 素养提升一、选择题1把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )导学号 18674135A27B28C29D30解析 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上 2,3,4,5，故第七个三角形数为 21728.2如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第 36 颗珠子的颜色是( A )导学号 18674136A白色B黑色C白色的可能性大D黑色的可能性大解析 由图知，这串珠子的排列规律是：每 5 个一组(前 3 个
7、是白色珠子，后 2 个是黑色珠子)呈周期性排列，而 36571，即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1 颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色3(2015长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r；类比这个结论2Sabc可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为 r，四面体PABC 的体积为 V，则 r( C )导学号 18674137ABVS1S2S3S42VS1S2S3S4CD3VS1S2S3S44VS1S2S3S4解析 将AB
8、C 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 PABC 的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数 ，类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选1213C证明如下：以四面体各面为底，内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为V，V S1r S2r S3r S4r，r.131313133VS1S2S3S4二、填空题4对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 53的“分裂”中的最小数为 a，而 52的“分裂”中的最大数是 b，则 ab_30_. 导学号 18674138解析 根据图中的“分裂”规律，可知 a21，b9，故 ab30.5(2016天津
9、五区县高二检测)在等差数列an中，若 mn2p(m、n、pN)，则aman2ap，类比上述结论，在等比数列bn中，若 mn2p，则得到的结论是_bmbnb _.2 p导学号 18674139解析 设等比数列bn的首项为 b1，公比为 q，则bmb1qm1，bnb1qn1，bpb1qp1，bmbnb qmn2，2 1b b q2p2，2 p2 1mn2p，bmbnb q2p2b .2 12 p6(2015陕西文)观察下列等式导学号 186741401 12121 12131413141 1213141516141516据此规律，第 n 个等式可为 1 .12131412n112n1n11n212
10、n解析 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得三、解答题7已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11 且 Sn120(n2)，计算1SnS1、S2、S3、S4，并猜想 Sn的表达式.导学号 18674141解析 当 n1 时，S1a11；当 n2 时，2S13，S2 ；1S213当 n3 时，2S2 ；S3 ；1S35335当 n4 时，2S3 ，S4 .1S47557猜想：Sn(nN*)2n32n1C 级 能力提高1在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A 点在 BC 上的射影，则 AB2BDBC拓展到空间，在四面体 ABCD 中，D
11、A平面 ABC，点 O 是 A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC 三者面积之间关系为_SSOBCSDBC_.2 ABC导学号 18674142解析 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积，将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC 在底面的射影OBC 及底面BCD 的面积可得 SSOBCSDBC2 ABC2若 a1、a2R，则有不等式2成立，此不等式能推广吗？请你至a2 1a2 22(a1a22)少写出两个不同类型的推广.导学号 18674143解析 本例可以从 a1、a2的个数以及指数上进行推广第一类型：()2，a2 1a2 2a2 33a1a2a33()2，a2 1a2 2a2 3a2 44a1a2a3a44()2；a2 1a2 2a2 nna1a2ann第二类型：()3，()4，()n；a3 1a3 22a1a22a4 1a4 22a1a22an 1an 22a1a22第三类型：()3，()a3 1a3 2a3 33a1a2a33am 1am 2am nna1a2annm.上述 a1、a2、anR，m、nN*.
