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1、2016 年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）数学试题数学试题1、填空题：本大题共填空题：本大题共 1414 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 7070 分分. .请把答案写在答题卡相应位置上。请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 1,2,3,6, | 23,ABxx 则=ABI_. 【答案】1,2【解析】试题分析：1,2,3,6231,2ABxx II故答案应填：1,2 ，考点：集合运算2. 复数(12i)(3i),z 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. 【答案】5【解析】试题分析：(12 )(3)55ziii故
2、答案应填：5考点：复数概念3. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线22 173xy的焦距是_. 【答案】2 10考点：双曲线性质4. 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_. 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.74.85.1 5.45.5)5.15，2222221(4.75.1)(4.85.1)(5.1 5.1)(5.45.1)(5.55.1)0.15S故答案应填：0.1，考点：方差5. 函数 y=232xx-的定义域是 .【答案】3,1【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320xx，即2230xx，31x 故答案应填：3,1，
3、考点：函数定义域6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 .【答案】9考点：循环结构流程图7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .【答案】5. 6【解析】点数小于 10 的基本事件共有 30 种，所以所求概率为305. 366考点：古典概型概率8. 已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 .【答案】20.【解析】由510S 得32a ，因此2 922(2d)33,23 620.dda 考点：等差数列性质9. 定义在区间0,3上的
4、函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由1sin2coscos0sin2xxxx或，因为0,3 x，所以3551317,2226666x 共 7 个考点：三角函数图像10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆22221()xyabab0 的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFCo ,则该椭圆的离心率是 .(第 10 题)【答案】6 3【解析】由题意得33(a, ),C(a, ),2222bbB，因此2222236(a)( )032.223bccae考点：椭圆离心率11. 设f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,
5、1)上，, 10, ( )2,01,5xax f xxx 其中.aR 若59()( )22ff ，则(5 )fa的值是 .【答案】2 5考点：分段函数，周期性质12. 已知实数x，y满足240220330xyxyxy ，则x2+y2的取值范围是 .【答案】4 ,135考点：线性规划13. 如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BC CAuuu r uu u r ，1BF CF uuu r uuu r，则BE CEuuu r uuu r的值是 . 【答案】7 8【解析】因为2222436444AOBCFOBCBA CAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u
6、r uu u r ,22414FOBCBF CF uuu ruuu ruuu r uuu r ,因此22513,BC82FO uuu ruuu r ，22224167 448EOBCFOBCBE CEuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r考点：向量数量积14. 在锐角三角形ABC中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC的最小值是 .【答案】8.【解析】sinsin(B C)2sinsintantan2tantanABCBCBC，因此tantantantantantantan2tantan2 2tantantantantantan8ABCABCA
7、BCABCABC，即最小值为 8.考点：三角恒等变换，切的性质应用二、解答题二、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .）15. （本小题满分 14 分）在ABC中，AC=6，4cos.54BC=，（1）求 AB 的长；（2）求cos(6A-)的值. 【答案】 （1）5 2(2) 7 26 20考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式16. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E
8、 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且11B DAF ，1111ACAB.求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】 （1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABCABC中，1111AA 平面ABC因为11AC 平面111ABC，所以111AA AC又因为111111111111111,ACABAAABB A ABABB A ABAAAI，平面平面所以11AC 平面11ABB A因为1B D 平面11ABB A，所以111ACB D又因为1111111111111C F,C F,B DAACAAFAACAFAIF，平
9、面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE 平面，所以1B DE平面11.AC F平面考点：直线与直线、平面与平面位置关系17. （本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABC D，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABC D(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO的四倍.（1）若16 ,PO2 ,ABmm则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？【答案】 （1）312（2）12 3PO (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0h6,OO1=4h.连结 O1
10、B1.因为在11RT PO B中，222 111OBPOPB， 所以222362ah，即222 36.ah 考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:221214600xyxy及其 上一点A(2，4)（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；（3）设点 T（t,o）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得,TATPTQuu ruu
11、 ruu u r ,求实数 t 的取值范围。【答案】 （1）22(6)(7)1xy（2）:25215l yxyx或（3）22 2122 21t 【解析】故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.(3)设1122,Q,.P x yxy 因为2,4 ,0 ,AT tTATPTQuu ruu ruu u r ,所以212124xxtyy 因为点 Q 在圆 M 上，所以22 226725.xy .将代入，得22 114325xty .于是点11,P x y既在圆 M 上，又在圆224325xty上，从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点，所以2255463755,
12、t解得22 2122 21t .因此，实数 t 的取值范围是22 21,22 21.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 19. （本小题满分 16 分）已知函数( )(0,0,1,1)xxf xab abab.:设12,2ab .（1）求方程( )f x=2 的根;（2）若对任意xR,不等式(2 )f( )6fxmx恒成立，求实数 m 的最大值；（3）若01,1ab，函数 2g xf x有且只有 1 个零点，求 ab 的值。【答案】 （1）04（2）1而2( ( )444( )2( )4( )( )( )f xf xf xf xf xf x，且2(
13、 (0)44(0)f f，所以4m ，故实数m的最大值为 4.若00x ，则0 002xx ，于是0()(0)02xgg，又log 2log 2log 2(log 2)220aaa agaba，且函数( )g x在以0 2x和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0 2x和log 2a之间存在( )g x的零点，记为1x. 因为01a，所以log 20a，又002x，所以10x 与“0 是函数( )g x的唯一零点”矛盾.若00x ，同理可得，在0 2x和log 2a之间存在( )g x的非 0 的零点，矛盾.因此，00x .于是ln1lna b，故lnln0ab，所以1ab .考点
14、：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 20. （本小题满分 16 分）记1,2,100U ，.对数列 * nanN和U的子集 T，若T ,定义0TS ;若12, ,kTt tt ，定义12+ kTtttSaaa.例如：= 1,3,66T时，1366+TSaaa.现设 * nanN是公比为 3 的等比数列，且当= 2,4T时，=30TS.（1）求数列 na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT ，求证：1TkSa；（3）设,CDCU DU SS,求证：2CCDDSSSI.【答案】 （1）13nna（2）详见解析（3）详见解析（3）下面分三种情况证明.若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSSI.若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSSI.若D不是C的子集，且C不是D的子集.考点：等比数列的通项公式、求和21. .【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小
