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1、天津新人教版数学天津新人教版数学 2013 高三单元测试高三单元测试 11空间向量与立体空间向量与立体 几何几何（ 时间：时间：6060 分钟分钟 满分满分 100100 分）分）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1. 在下列命题中： 若向量共线，则向量所在的直线平行；, a br r, a br r若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；, a br r, a br r若三个向量两两共面，则向量共面；, ,a b cr r r, ,a b cr r r已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总, ,a b cr r rpu r存在实数 x,y,z 使得；其中正确的命题的个
2、数是 pxaybzcu rrrr（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）（A） （）和（） ； （B） （3 2 2 22,10523 22 22,1052） ；3 2 2 22,1052（C） （）和（） ； （D） （3 2 2 22,10523 22 22,1052） ；3 22 22,10523. 已知 A、B、C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外的一点，则下 列条件中，能得到 M平面 ABC 的充分条件是 （ ）（A）； （B）；111 222OMOAOBOCuuuu ruu u ruuu ruuu r11 33OM
3、OAOBOCuuuu ruu u ruuu ruuu r（C）； （D）OMOAOBOCuuuu ruu u ruuu ruuu r2OMOAOBOCuuuu ruu u ruuu ruuu r4. 已知点 B 是点 A（3，7，-4）在 xOz 平面上的射影，则等于 2()OBuuu r（ ）（A） （9，0，16） （B）25 （C）5 （D）13 5. 设平面 内两个向量的坐标分别为（1，2，1） 、 （-1，1，2） ，则 下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1） 6. 如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C
4、1中，若 AB=BB1，则2 AB1与 C1B 所成的角的大小为 （ ） （A）60 （B）90 （C）105 （D）757. 到定点的距离小于或等于 1 的点集合为（ ）1,0,0A. B. 222, ,|11x y zxyz 222, ,|11x y zxyzC. D. , ,|11x y zxyz222, ,|1x y zxyz8. 已知均为单位向量,它们的夹角为 60,那么等于（ , a br r3abrr） A B C 71013 D4 9. 在平面直角坐标系中, ,沿 x 轴把平面直角坐标系折( 2,3), (3, 2)AB 成 120的二面角后,则线段 AB 的长度为（ ） A
5、2 B C D2 113 24 2 10. 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线， 则“”是“”的( ) m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不 充分也不必要条件二、填空题（每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）11. 若空间三点 A（1，5，-2） ，B（2，4，1） ，C（p,3,q+2）共线， 则 p=_,q=_。 12. 设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB 于 E(如图) 现将ADE 沿 DE 折起，使二面 角 ADEB 为 45 ，此时点 A 在 平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与
6、 AE 所成角的大小 等于_ 13. 如图，PA平面 ABC，ACB=90且 PA=AC=BC=a 则异面直 线 PB 与 AC 所成角的余弦值等于_； 14.已知，若共同123Fijk u u rrrr223Fijk uu rrrr3345Fijkuu rrrr123,F F Fu u r uu r uu r作用于一物体上，使物体从点 M（1，-2，1）移动到D CBAENMBNMDCAN（3，1，2） ，则合力所作的功是 .三、解答题（本大题共四个小题，15 题 11 分，16 题 11 分，17 题12 分，共 24 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15. 设向量并确定的关系
7、，3,5, 4 ,2,1,832 ,abab a brrrr r r，计算, 使轴垂直abzrr与16. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1棱长为 1，P、Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点，且 D1P：PA=DQ：QB=5：12， （1）求线段 PQ 的长度； （2）求证 PQAD； （3）求证：PQ/平面 CDD1C1；17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点 2 （）证明：PC 平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角 的大小。18. 如图,四棱锥 S-A
8、BCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA 底面 ABCD,若边 BC 上存在异于 B,C 的一点 P,使得.PSPDuu u ruuu r(1)求 a 的最大值;(2)当 a 取最大值时,求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小;(3)当 a 取最大值时,求平面 SCD 的一个单位法向量nr及点 P 到平面 SCD 的距离.参考答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3，2 12. 13. 14. 14 23 315. 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)323(3,5, 4)2(2,1,8)abrr(3,5,-4) (2,1,8)=
9、6+5-32=-21a br r由() (0,0,1)(32 ,5, 48 )abrr(0,0,1)480 即当满足0 即使与 z 轴垂直., 48abrr16. 解：以 D 为坐标原点。DA、DC、DD1分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为 1，所以D（0，0，0） ，D1（0，0，1） ，B（1，1，0） ，A（1，0，0） ，P、Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，P，Q（） ，512(,0,)171755,017 17，所以512(0,)1717PQ uuu r（1）；13|17PQPQuuu r（2），PQA
10、D；(1,0,0)DAuuu r0PQ DAuuu r uuu r（3），又(0,1,0)DC uuu r1(0,0,1)DD uuuu r1512 1717PQDCDDuuu ruuu ruuuu r平面 CDD1C1，PQ平面 CDD1C1，PQ/平面 CDD1C1；1,DD DC 17. 解法一 （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 算在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形。A，B，C，D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0)，D(0，2 2，0)，P(0,0,2)又 E，F
11、分别是 AD，PC 的中点，E(0， 2，0),F(1， 2，1)。=（2，2 2，-2）=（-1， 2，1）=（1,0, 1） ，PCuuu rBFuuu rEFuuu rPCuuu r=-2+4-2=0，=2+0-2=0，BFuuu rPCuuu rEFuuu r，PCBF,PCEF,BF EF=F,PC平面PCuuu rBFuuu rPCuuu rEFuuu rBEF（II）由（）由（I）知平面）知平面 BEF 的法向量的法向量平面平面 BAP 的法向量的法向量设平面设平面 BEF 与平面与平面 BAP 的夹角为的夹角为 ，则则 =45， 平面平面 BEFBEF 与平面与平面 BAPBA
12、P 的夹角为的夹角为 45解法二解法二 （I）连接）连接 PE，EC 在在 PA=AB=CD,PA=AB=CD, AE=DE,AE=DE, PE=PE= CE,CE, 即即 PECPEC 是等腰是等腰三角形，又又 F F 是是 PCPC 的中点，的中点，EFPC,EFPC,又，F F 是是 PCPC 的中点，的中点，BFPC.BFPC.又18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0x2)(1) ,1 ,PSax uu u r,2,0PDax uuu r由得: P
13、SPDuu u ruuu r2(2)0axx即: 2(2) (02)axxx当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点;(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2, 1),APSDuuu ruu u r210cos,525AP SDAP SD APSDuuu r uu u ruuu r uu u rguuu ruu u r异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为10cos.5arc(3) 设是平面 SCD 的一个法向量,1, ,nx y zu r(1,0,0),(0,2, 1),SDuu ruu u rD C由得1111000201 021xxnDCn DCyzy nSDn SDzyu ruuu ru r uuu rgu ruu u ru r uu u rg取1(0,1,2),n u r平面 SCD 的一个单位法向量1115 2 50,1,2(0,),555nn nu rr u r又在方向上的投影为(0, 1,0),uu rC Prn5 55,15nn uu r rrC P点 P 到平面 SCD 的距离为5.5
