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1、2015 年普通高等学校招生全国年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）统一考试（福建卷）数学理数学理第第 I I 卷（选择题共卷（选择题共 5050 分）分）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合234, ,Ai i i i （i 是虚数单位） ，1, 1B ，则ABI 等于 ( )A 1 B1 C1, 1 D 【答案】C【解析】试题分析：由已知得, 1,1Aii ，故AB I1, 1，故选 C考点：1、复数的概念；2、集合的运算2下列函数为奇函数的是( )Ayx Bsinyx Ccosyx Dxxyee 【
2、答案】D考点：函数的奇偶性3若双曲线22 :1916xyE 的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线E上，且13PF ，则2PF 等于（ ）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PFPFa，即236PF，解得29PF ，故选B考点：双曲线的标准方程和定义4为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ybxa ，其中0.76,baybx ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出
3、为( )A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元【答案】B考点：线性回归方程5若变量, x y 满足约束条件20, 0, 220,xy xy xy 则2zxy 的最小值等于 ( )A5 2 B2 C3 2 D2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2yxz，当z最小时，直线2yxz的纵截距最大，故将直线2yx经过可行域，尽可能向上移到过点1( 1, )2B 时，z取到最小值，最小值为152 ( 1)22z ，故选 A考点：线性规划6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A2 B1 C0 D1 【答案】C【解析】试题分
4、析：程序在执行过程中,S i的值依次为：0,1Si；0,2Si；1,3Si ；1,4Si ；0,5Si；0,6Si，程序结束，输出0S ，故选 C考点：程序框图7若, l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm ”是“/ /l 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系8若, a b 是函数 20,0f xxpxq pq 的两个不同的零点，且, , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析
5、：由韦达定理得abp，a bq，则0,0ab，当, , 2a b 适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4a bq，4ba当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa，解得1a ，4b ；当4 a是等差中项时，82aa，解得4a ，1b ，综上所述，5abp，所以pq9，选 D考点：等差中项和等比中项9已知1,ABAC ABACttuuu ruuu r uuu ruuu r，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4ABACAP ABACuuu ruuu ruuu r uuu ruuu r ，则PB PCuu u r uuu r的最大值等于（ ）A13 B15 C1
6、9 D21【答案】AxyBCAP考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式10若定义在R上的函数 f x 满足 01f ，其导函数 fx 满足 1fxk ，则下列结论中一定错误的是（ ）A11fkkB11 1fkkC11 11fkkD 1 11kfkk【答案】C考点：函数与导数第第 IIII 卷（非选择题共卷（非选择题共 100100 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.1152x 的展开式中，2x的系数等于 （用数字作答）【答案】80【解析】试题分析：52x 的展开式
7、中2x项为232 5280Cx ，所以2x的系数等于80考点：二项式定理12若锐角ABC的面积为10 3 ，且5,8ABAC ，则BC 等于_【答案】7【解析】试题分析：由已知得ABC的面积为1sin20sin2AB ACAA10 3，所以3sin2A ，(0,)2A，所以3A由余弦定理得2222cosBCABACAB ACA49，7BC 考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理13如图，点A 的坐标为1,0 ，点C 的坐标为2,4 ，函数 2f xx ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】5 12【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为221754433x d
8、x所以此点取自阴影部分的概率等于5 53 412考点：几何概型14若函数 6,2, 3log,2,axxf xx x （0a 且1a ）的值域是4, ，则实数a 的取值范围是 【答案】(1,2考点：分段函数求值域15一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串* 12nx xxnNL ，其中1,2,kxknL 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为 1，或者由 1 变为 0）已知某种二元码127x xxL 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx 其中运算 定义为：000,011,101,110 现
9、已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 【答案】5考点：推理证明和新定义三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.()
10、求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望【答案】()1 2；()分布列见解析，期望为5 2【解析】试题分析：()首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为3 66 5 4A ，事件A包含的基本事件数为3 55 4 3A ，代入古典概型的概率计算公式求解；()列出随机变量X的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可试题解析：（）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则5431(A)=6542P=（）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3又151154
11、2(X=1), (X=2), (X=3)1=.6656653PPP=所以 X 的分布列为所以1125E(X)1236632= + + =考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望17如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点.()求证：/ /GF平面ADE ； ()求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值GFBACDE【答案】()详见解析；() 2 3试题解析：解法一：（）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又 G 是 BE 的中点，1GHABGH=AB2P所以，且，又
12、 F 是 CD 中点，1DF=CD2所以，由四边形 ABCD 是矩形得，AB CDAB=CDP，所以GHDFGH=DFP，且从而四边形HGFD是平行四边形，所以/ /GFDH，,又DHADEGFADE平面，平面，所以GFADEP平面HGFBACDEHGFBACDEQ所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为2 3解法二：()如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知/ /GMAE，又AE 面ADE，GM 面ADE，所以/ /GM平面ADE在矩形 ABCD 中，由，分别是，的中点得/ /MFAD又AD 面ADE，MF 面ADE，所以/ /MF面ADE又因为GMMFM
13、I，GM 面GMF，MF 面GMF，所以面/ /GMF平面ADE，因为GF 面GMF，所以/ /GM平面ADEMGFBACDE（）同解法一考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角18.已知椭圆 E：22221(a0)xybab+=过点(0,2），且离心率为2 2()求椭圆 E 的方程； ()设直线1xmymR=-，()交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G9(4-, 0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】()22 142xy+=；() G9(4-, 0)在以 AB 为直径的圆外G在圆上试题解析：解法一：()由已知得2222,2,2 ,bc a
14、 abc=+解得222abc=所以椭圆 E 的方程为22 142xy+=故2222 22 012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my(m +1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=+=-+=+所以|AB|GH|2，故 G9(4-, 0)在以 AB 为直径的圆外解法二：()同解法一.()设点1122(y ),B(,y ),A xx，则112299GA(,),GB(,).44xyxy=+=+uuu ruuu r由22221 (m2)y230,142xmy myxy=-+-=+=得所以12122223y +y =,y y =m2m2m +，从而121212129955GA GB()()(my)(my)4444xxy yy y=+=+uuu r uu
