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1、第第 2 章章 平面向量平面向量(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1已知向量 a(4,2)，b(x,3)，且 ab，则 x 的值是_ 2设向量 a(m2，m3)，b(2m1，m2)，若 a 与 b 的夹角大于 90，则实数 m 的取值范围是_3若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则 _.1a1b4平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，ABAC则_.ADBD5已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与向量 b 的夹角是_ 6关于平面向量 a，b，c
2、，有下列四个命题： 若 ab，a0，则存在 R，使得 ba； 若 ab0，则 a0 或 b0； 存在不全为零的实数 ， 使得 cab； 若 abac，则 a(bc) 其中正确的命题是_(填序号) 7已知|a|5，|b|3，且 ab12，则向量 a 在向量 b 上的投影等于_ 8a，b 的夹角为 120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.9已知向量 a(6,2)，b(4， )，直线 l 过点 A(3，1)，且与向量 a2b 垂直，则12 直线 l 的方程为_ 10已知 3a4b5c0，且|a|b|c|1，则 a(bc)_.11在ABC 中，2，2，若mn，则 mn_.ARRBCPPRAPABA
3、C12P 是ABC 内的一点， ()，则ABC 的面积与ABP 的面积之比为AP13ABAC_13已知向量(2,1)，(1,7)，(5,1)，设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为坐标OPOAOB原点)，则的最小值为_MAMB14定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的 a(m，n)，b(p，q)，令 abmqnp.下面说法正确的是_(填相应说法的序号) 若 a 与 b 共线，则 ab0； abba； 对任意的 R，有(a)b(ab)； (ab)2(ab)2|a|2|b|2. 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分) 15(14 分)如图所示，以向量a，b 为边作AOBD，又，用
4、a，b 表示、OAOBBM13BCCN13CDOM、.ONMN16(14 分)已知 a，b 的夹角为 120，且|a|4，|b|2， 求：(1)(a2b)(ab)；(2)|ab|； (3)|3a4b|.17(14 分)已知 a(，1)，b，且存在实数 k 和 t，使得 xa(t23)3(12，32)b，ykatb，且 xy，试求的最小值kt2t18(16 分)设(2,5)，(3,1)，(6,3)在线段 OC 上是否存在点 M，使OAOBOCMAMB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由19(16 分)设两个向量 e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为 60，若向量
5、 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围20(16 分)已知线段 PQ 过OAB 的重心 G，且 P、Q 分别在 OA、OB 上，设a，OAb，ma，nb.OBOPOQ求证： 3.1m1n第第 2 章章 平面向量平面向量(B) 16 解析 ab，432x0，x6.2( ，2)43 解析 a 与 b 的夹角大于 90，ab0， (m2)(2m1)(m3)(m2)0， 即 3m22m80， m2.433.12解析 (a2，2)，(2，b2)，ABAC，ABAC(a2)(b2)40，ab2(ab)0，该等式两边同除以 ab，可得0，ab2abab120，(1a1b) .1a
6、1b12 48解析 (1，1)，ADBCACAB(1，1)(2,4)(3，5)，BDADAB(1，1)(3，5)8.ADBD5.3 解析 a(ba)ab|a|22，ab3，cosa，b ，ab|a|b|31 612a，b .3 6 解析 由向量共线定理知正确；若 ab0，则 a0 或 b0 或 ab，所以错误；在 a，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数 ， 使得 cab，所以错误； 若 abac，则 a(bc)0，所以 a(bc)，所以正确，即正确命题序号是. 74解析 向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cosa，b|a|4.ab|a|b|ab|b|123 87解析 |5ab|
7、2(5ab)225a2b210ab2512321013( )49.12 |5ab|7.92x3y90解析 设 P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有(a2b)(x3，y1)(2,3)0，AP整理化简得 2x3y90.1035解析 由已知得 4b3a5c，将等式两边平方得(4b)2(3a5c)2，化简得 ac .35同理由 5c3a4b 两边平方得 ab0，a(bc)abac .3511.79解析 APACCPAC23CR ()AC2323ABAC49AB13AC故有 mn .491379 123 解析 设ABC 边 BC 的中点为 D，则.S ABCS ABP2S ABDS ABP2ADA
8、P ()，AP13ABAC23AD，| |.AD32APAD32AP3.S ABCS ABP 138解析 设t(2t，t)，故有(12t,7t)(52t,1t)5t220t125(t2)OMOPMAMB28，故当 t2 时，取得最小值8.MAMB14 解析 若 a(m，n)与 b(p，q)共线，则 mqnp0，依运算“”知 ab0，故正 确由于 abmqnp，又 banpmq，因此 abba，故不正确对于， 由于 a(m，n)，因此(a)bmqnp，又 (ab)(mqnp)mqnp，故正 确对于，(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2) (m
9、2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故正确15解 ab.BAOAOBOMOBBMOB13BC a b.OB16BA1656又ab.ODONOCCN12OD16OD a b，23OD2323MNONOM a b a b23231656 a b.121616解 ab|a|b|cos 120424.(12) (1)(a2b)(ab) a22abab2b2 422(4)(4)222 12. (2)|ab|2(ab)2a22abb2 162(4)412. |ab|2.3(3)|3a4b|29a224ab16b2 94224(4)1622 1619， |3a4b|4.1917解 由题意有|a|2， 32
10、12|b|1.(12)2(32)2ab 10，ab.31232 xy0，a(t23)b(katb)0.化简得 k.t33t4 (t24t3) (t2)2 .kt2t141474即 t2 时，有最小值为 .kt2t7418解 设t，t0,1，则(6t,3t)，OMOCOM即 M(6t,3t).(26t,53t)，MAOAOM(36t,13t)MBOBOM若 MAMB，则(26t)(36t)(53t)(13t)0.MAMB即 45t248t110，t 或 t.131115存在点 M，M 点的坐标为(2,1)或.(225，115) 19解 由向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，得0，2t
11、e17e2e1te2|2te17e2|e1te2|即(2te17e2)(e1te2)0. 整理得：2te (2t27)e1e27te 0.(*)2 12 2|e1|2，|e2|1， e1，e260. e1e221cos 601 (*)式化简得：2t215t70.解得：7t .12 当向量 2te17e2与 e1te2夹角为 180时， 设 2te17e2(e1te2) (0) 对比系数得Error!，Error! 所求实数 t 的取值范围是.(7，142) (142，12) 20.证明 如右图所示， () (ab)，OD12OAOB12 (ab)OG23OD13PGOGOP (ab)ma( m)a b.131313nbma.PQOQOP又 P、G、Q 三点共线，所以存在一个实数 ，使得.PGPQ( m)a bnbma，1313( mm)a( n)b0.1313 a 与 b 不共线， Error!由消去 得： 3.1m1n
