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1、长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高高 2013 届第三次模拟考试届第三次模拟考试数学（理）试题数学（理）试题命题学校：师大附中 审题学校：西安中学第第卷卷 （选择题（选择题 共共 5050 分）分）一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)1.若集合,则【 】. |01xAxx2 |2 Bx xxAB IA. B. C. D. |01xx |01xx |01xx |01xx2.若复数满足:1(1)zzi ,则复数的共轭复数【 】.zzz A. B. C. D.ii1 i1 i3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该
2、三棱锥的体积为【 】.A. 80B. 40C. 380D.3404.若的三个内角满足,则【 】.ABCsin:sin:sin5:11:13ABC ABCA.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形5.函数是【 】.( )lg|sin|f xxA.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数2C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数26.按右面的程序框图运行后,输出的应为【 】.SA. B. 2635C. D.40577.若数列满足,且,则使的na151a2331nnaa01kkaa值为【 】.kA. B. C. D.222
3、124238.“”是“直线:与:平1a1l012yax2l04) 1(yax行”的【 】.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.设1F,2F分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,22221xy ab(0,0)ab满足212PFFF,且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.A.B. C. D.34 35 45 44110.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,米或米；1 . 02 . 03 . 08 . 19 . 1(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走
4、过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒aa则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【 】.5050A.秒 B.秒 6 .486 .47C.秒 D.秒4847第第卷卷 （共（共 100100 分）分）二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.在的展开式中,常数项为 . 6(42 )xxi5?否开始S=0,i=1T=3i1S=S+Ti= i+1是 输出 S结束12.若向量,则的最大值为 . (cos , sin )ar( 3,1)b r |2|abrr13.若实数满足14xy ,且23xy,则的取值范围是_. yx,yxp32
5、 14.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则_. 21 xy1 2( ,)m m18m15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(A.(不等式选讲不等式选讲) )若实数满足,则的最大值为_.cba,4222cbacba543B.(B.(几何证明选讲几何证明选讲) )以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且Rt ABCABOACEDBC与圆相切.若,则_.DEO56ABDEC.(C.(坐标系与参数方程坐标系与参数方程) )在极坐标系中,曲线与直线的两个交点)3cos(41)6sin(之间的距离为_.三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 1
6、6.( (本题本题 1212 分分) )某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.a；17cos13sin17cos13sin22；15cos15sin15cos15sin22；12cos18sin12cos18sin22；48cos)18sin(48cos)18(sin22.55cos)25sin(55cos)25(sin22(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；a(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.( (本题本题 1212 分分) )如图,在长方体中,点在棱上.1111ABCDABC D11,2,ADAAABEAB
7、(1)求异面直线与所成的角；1D E1AD(2)若二面角的大小为,求点到面的距离.1DECD45B1D EC18.( (本题本题 1212 分分) ) 某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照63题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考26生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成4231与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.( (本题本题 1212 分分) )在数列中,且对任意的都有.na12
8、3a *Nn12 1n n naaa(1)求证:是等比数列；11na(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.*Nn1nnapap20.( (本题本题 1313 分分) ) 已知椭圆:的离心率为36,过右焦点且斜率为 的C12222 by ax)0( baF1直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.CBA,NABO(1)求直线的斜率；ONONk(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成CM)2 , 0OBOAOMsincos立.21.( (本题本题 1414 分分) )设函数有两个极值点,且.) 1ln()(2xaxxf21,xx21xx (1)求实数的取值范围；a(2)讨论函数的单调性
9、；)(xf(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.),(1 xxmxf)(m高高 20132013 届第三次五校联考数学届第三次五校联考数学( (理理) )参考答案参考答案一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)题号12345678910答案ABDCCCDABA二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11. 12. 13. 14. 15. A.A. B.B. C.C.154(3,8)642106832三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.( (本题本题 1212 分分) ) 解:(1)选择式计算:.4 分4330sin21115
10、cos15sin15cos15sin22a(2)猜想的三角恒等式为:.6 分43)30cos(sin)30(cossin22证明: )30cos(sin)30(cossin2222sin(cos30 cossin30 sin)sin(cos30 cossin30 sin)222233131sincossincossinsincossin42422.12 分22333sincos44417.( (本题本题 1212 分分) )解法一:(1)连结.由是正方形知.1AD11AAD D11ADAD平面,AB 11AAD D是在平面内的射影.1AD1D E11AAD D根据三垂线定理得,11ADD E则
11、异面直线与所成的角为.5 分1D E1AD90(2)作,垂足为,连结,则.DFCEF1D F1CED F所以为二面角的平面角,.1DFD1DECD145DFD于是,111,2DFDDD F易得,所以,又,所以.RtRtBCECDF2CECD1BC 3BE 设点到平面的距离为,则由于B1D ECh 1,B CEDD BCEVV即,111 11 1 3 23 2CE D F hBE BC DD因此有,即,.12 分11CE D F hBE BC DD2 23h 6 4h 解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建1,DDDCDAxyz立空间直角坐标系.(1)由,得,1(1,0,1)A1(1,0,1)DA
12、 uuu u r设,又,则.(1, ,0)Ea1(0,0,1)D1(1, , 1)D Eauuuu r,111 0 10DA D E uuu u r uuuu r11DAD Euuu u ruuuu r则异面直线与所成的角为.5 分1D E1AD90(2)为面的法向量,设为面的法向量,则(0,0,1)mDEC( , , )x y zn1CED,( , , )x y zn 222|2|cos,|cos45|2zxyz m nm nmn. 222zxy由,得,则,即, (0,2,0)C1(0,2, 1)DC uuuu r1DCuuuu rn10DCuuuu rn20yz由、,可取,又,( 3,1,
13、2)n(1,0,0)CB uu u r所以点到平面的距离.12 分B1D EC|36 42 2CBduu u rn |n|18.( (本题本题 1212 分分) ) 解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,则取值分别为；取值分别为3 , 2 , 1.3 , 2 , 1 , 0,.51) 1(3 62 21 4CCCP53)2(3 61 22 4CCCP51)3(3 60 23 4CCCP考生甲正确完成题数的概率分布列为.3 分2513532511E, )0(P271)321 (30 3C同理:,.276) 1(P2712)2(P278)3(P考生乙正确完成题数的概率分布列为:.7 分227832712227612710E(2),52 51)32(53)22(51) 12(222D.（或）. 32 278)32(2712)22(276) 12(271)02(2222D32 npqD.DD123p51 53 510123p271 276 2712 278,8 . 051 53)2(P74. 0278 2712)2(P.10 分)2()2(PP从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实
