《2013-2017年高考数学（文）分类汇编详解：第3章-导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017年高考数学（文）分类汇编详解：第3章-导数（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 导数导数第第 1 节节 导数的概念与运算导数的概念与运算题型 33 导数的定义暂无题型 34 求函数的导数1.（2015 天津文 11）已知函数 ，其中为实数，为的导 ln ,0,f xaxx xa fx f x函数，若 ，则的值为 13f a1. 解析解析 因为 ，所以. 1lnfxax 13fa2.（2015 陕西文 21(1)）设求.2( )102.n nfxxxxxnnN， 2nf 2. 解析解析 由题设，所以， 112n nfxxnx L 21212 23 22nnfn L所以， 23221 22 23 22nnfn L由错位相减法求得：， 23111 221 1 2
2、1 21 22221 2n nnn nfnn L所以. 21 21n nfn3.（2016 天津文 10）已知函数为的导函数，则的值为_.( )(2 +1)e ,( )xf xxfx( )f x(0)f 3.3 解析解析 因为，所以. (2 +3)exfxx(0)3f 4.（2017 浙江 20） 已知函数. 121 e2xf xxxx（1）求的导函数； f x（2）求在区间上的取值范围. f x1+2，4.解析解析 （1）因为 ，121121xxx eexx 所以. 1212 e111e21 e22121xxxxx fxxxxxx （2）由，解得或. 1212 e021xxx fxx 1x
3、5 2x 当变化时，的变化情况如下表所示.x f x fxx1 21,1211,5 25 25,2 fx00 f x1 21e20251e2又，所以在区间上的取值范围是 2121 1e02xf xx 15 2211ee22 f x1,2.1 210,e2 题型 35 导数的几何意义1. （2013 江西文 11） 若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则 .1yxR1 2（，）1.解析解析 因为，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.1aya x 1,2k21yx又切线过原点，故，解得.020122.(2013 广东文 12）若曲线在点处的切线平行于轴，则2lnyaxx1,axa2.分析分析 计算
4、出函数在点处的导数，利用导数的几何意义求的值.2lnyaxx1,aa解析解析 因为，所以.因为曲线在点处的切线平行于轴，12yaxx 121xya1,ax故其斜率为，故.01210,2aa 3. (2013 天津文 20）设， 已知函数 2,0a 332(5) ,0,3,0( ).2x f xaxxaxxaxx （1）证明在区间内单调递减， 在区间内单调递增；( )f x1,11,（2）设曲线在点处的切线相互平行， 且( )yf x( ,( )(1,2,3)iiixf xiP1230,x xx证明：. 1231 3xxx3.分析分析 （1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、
5、直线平行的条件用参数表示出用换元法证明结论.a123xxx，解析解析 证明：（1）设函数 33 1250 ,fxxax xfxx230 ,2axax x由于从而当时， 2 135fxxa，2,0 ,a 10x ，所以函数在区间内单调递减. 2 135350fxxaa 1fx1,0由于所以当时，； 2 23331 ,fxxaxaxax2 0a ，01x 20fx当时，.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.1x 20fx 2fx0,11,综合及可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增. 1200ff， f x1,11,（2）由（1）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间 fx,030
6、,6a内单调递增.3,6a因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且 yf x 12 3iiiP x f xi ,，123x x x,不妨设由 123fxfxfx，1230xxx，22 1223533xaxax可得解得2 3333axaxa ，22 23233330xxaxx ，233,3axx从而23306axx，设则 233g xxaxa ， 23()0.6agg xga由解得 2 1235xag xa ，12503ax ，所以123253. 33aaxxx 设则因为所以25,3at235,2ta2,0 ,a 315,33t 故即22 123311111,6233txxxtt =123
7、1 3xxx ，4. (2013 陕西文 21）已知函数. exf xxR，（1）求的反函数的图象上点处的切线方程； f x10，（2）证明：曲线与曲线有唯一公共点； yf x2112yxx（3）设，比较与的大小，并说明理由.a b2abf f bf a ba4.分析分析 确定反函数，利用导数的几何意义求解；将两曲线的公共点个数问题转化为函数零点个数问题来解决；利用作差法比较大小解析解析 （1）解：的反函数为，设所求切线的斜率为 f x lng xxk因为，所以，于是在点处的切线方程为. 1gxx 11kg1,01yx（2）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零exy 2112yxx 21e
8、12xxxx点的个数因为，所以存在零点. 01 10 x0x 又，令,则. e1xxx e1xh xxx e1xh x当时，所以在上单调递减；0x 0h x x,0当时，所以在上单调递增，0x 0h x x0,所以在处有唯一的极小值，即在上的最小值为. x0x 00 xR 00，所以在上是单调递增的，所以在上有 0x0x 当且仅当时等号成立 xR xR唯一的零点，故曲线与曲线有唯的公共点 yf x2112yxx证法二：因为，所以曲线与曲线公共点的个数等于e0x21102xx exy 2112yxx曲线与公共点的个数2112 exxx y 1y 设，则，即当时，两曲线有公共点 2112 exxx
9、 x 010x 又， 222111 e1 e220eexxxxxxxx x0x 且仅当时等号成立所以在上是单调递减，所以与有唯一的公共点，故曲线与曲线 xR x1y yf x有唯的公共点2112yxx（3）解： 2f bf aabfba22 2eeeeeeea ba b a bbababa baba .2 22eeea b b aa b baba 设函数，则，所以 1e20ex xu xx x 11e22 e20eexx xxux 0ux，所以单调递增0x 当且仅当时等号成立 u x当时，令，则得0x 00u xu2bax22ee0b aa b ba 又，所以2e0a bba .2f bf a
10、abfba5. (2013 福建文 22）已知函数（为自然对数的底数）.( )1exaf xx ,eaR（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；( )yf x1,(1)fxa（2）求函数的极值；( )f x（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.1a :1l ykx( )yf xk5.分析分析 （1）利用导数求切线斜率；（2）讨论字母的取值；（3）先构造函数再结合函数a的零点存在性定理求解.解析解析 解法一：（1）由，得.又曲线在点处 1exaf xx 1exafx yf x 1,1f的切线平行于轴，得，即，解得.x 10f 10eaea （2）. 1exafx 当时，为上的增函数，
11、所以函数无极值.0a 0fx f x, f x当时，得.，；，0a 0fxe,lnxa xa,lnxa 0fxln ,xa，所以在上单调递减，在上单调递增，故在 0fx f x,lnaln , a f x处取得极小值，且极小值为，无极大值.lnxalnlnfaa综上，当时，函数无极值；0a f x（3）当时，.令，则直线1a 11exf xx 111exg xf xkxk x与曲线没有公共点，等价方程在上没有实数解.1lykx yf x 0g x R假设，此时，.1k 010g 1 111101ekgk 又函数的图象连续不断，由零点存在性定理，可知在上至少有一个解，与“方程 g x 0g x
12、R在上没有实数解”矛盾，故. 0g x R1k 又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为 .1k 10exg x 0g x Rk1解法二“（1） （2）同解法一.（3）当时，.1a 11exf xx 直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有1lykx yf xx111exkxx R实数解，即关于的方程： （*）x11exkx在上没有实数解.R当时，方程（*）可化为，在上没有实数解.1k 10exR当时，方程（*）化为.1k 1e1xxk令，则有. exg xx 1exgxx令，得， 0gx1x 当变化时，的变化情况如下表：x gx g xx, 1 11, gx0 g x1 eZ当时，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为1x min1 eg x x g x g x.1,e所以当时，方程（*
