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1、绝密启用并使用完毕 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(文) 本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A=-1,0,1 ,B=x|-1xbc(B) b2(D)a3b3(3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ )上单调递减的是(A)y= (B)y=e-3 (C)y=x2+1 (D)y=lgx(4)在复平面内,复
2、数 i(2-i)对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(5)在ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB(A) (B) (C) (D)1(6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(A)1(B)(C)(D)(7)双曲线 x-=1 的离心率大于的充分必要条件是(A)m(B)m1(C)m 大于 1(D)m2(8)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有 (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个第二部分(非选择题第二部分(非选择题 共共 110 分)分)二、填空题共二、填
3、空题共 6 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 30 分。分。(9)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0)则 p=_;准线方程为_(10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_.(11)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_;前 n 项sn=_.(12)设 D 为不等式组,表示的平面区域,区域 D 上的点与点(L,0)之间的距离的最小值为_.(13)函数 f(x)=的值域为_.(14)已知点 A(1,-1) ,B(3,0) ,C(2,1).若平面区域 D 由所有满足 AP =AB+AC (12,01)的点 P 组成,则 D 的面积为_.三、解答题共
4、三、解答题共6小题,共小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x=cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值(2)(2)若(,)且f()=,求的值(16)(本小题共 13 分)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天。()求此人到达当日空气质量优良的概率()求此人在该
5、市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)17.(本小题共 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面 PAD底面 ABCD,PAAD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:()PA底面 ABCD;()BE平面 PAD()平面 BEF平面 PCD. (18) (本小题共 13 分)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x.()若曲线 y=f(x)在点(a,f(a)处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。()若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交
6、点,求 b 的取值范围。(19) (本小题共 14 分)直线 y=kx+m(m0)与椭圆 W:+y2相交与 A,C 两点,O 为坐标原电。()当点 B 的左边为(0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC的长;()当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形。(20) (本小题共 13 分)给定数列 a1,a2,an。对 i-1,2,n-l,该数列前 i 项的最大值记为Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,an的最小值记为Bi,di=ni-Bi.()设数列an为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3的值.()设 a1,a2,an(n4)是公比大于 1 的等比数列,且a10.证明:d1,d2,dn-1是等比数列。()设 d1,d2,dn-1是公差大于 0 的等差数列,且 d10,证明:a1,a2,an-1是等差数列。