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1、2 2013013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解 参考公式参考公式: :台体体积公式11221 3VSS SSh,其中12,S S分别是台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题一、选择题: :本大题共本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的. .1设集合2|20,Mx xxxR,2|20,Nx xxxR,则MN U( )A . 0B0,2C2,0D
2、2,0,2【解析】D；易得2,0M ,0,2N ,所以MN U2,0,2,故选 D2定义域为R的四个函数3yx,2xy ,21yx,2sinyx中,奇函数的个数是( )A . 4 B3 C2 D1【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3yx与2sinyx,故选 C3若复数z满足24izi,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )A . 2,4B2, 4C4, 2D4,2【解析】C；2442izii 对应的点的坐标是4, 2,故选 C4已知离散型随机变量X的分布列为 X123P3 53 101 10则X的数学期望EX ( )A . 3 2B2 C5 2D3【解析】A；331153
3、12351010102EX ,故选 A5某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B14 3C16 3D6【解析】B；由三视图可知,该四棱台上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故22221141122233V ,故选 B6设,m n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若,m,n,则mnB若/,m,n,则/mnC若mn,m,n,则D若m,/mn,/n,则【解析】D；ABC 是典型错误命题,选 D7已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于3 2,在双曲线C的方程是 ( )A . 22 145xyB22 145xyC22 12
4、5xyD22 125xy12211正视图正视图俯视图俯视图侧视图侧视图第 5 题图是否输入1,1is输出s结束开始in第 11 题图n1sis1ii xy441 O【解析】B；依题意3c ,3 2e ,所以2a ,从而24a ,2225bca,故选 B8设整数4n ,集合1,2,3,XnL.令 , ,| , ,Sx y zx y zXxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立若, ,x y z和, ,z w x都在S中,则下列选项正确的是( )A . , ,y z wS, ,x y wSB, ,y z wS, ,x y wSC, ,y z wS, ,x y wSD, ,y z wS, ,x y
5、 wS【解析】B；特殊值法,不妨令2,3,4xyz,1w ,则 , ,3,4,1y z wS, , ,2,3,1x y wS,故选B如果利用直接法:因为, ,x y zS，, ,z w xS，所以xyz，yzx，zxy三个式子中恰有一个成立；zwx，wxz，xzw三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：成立，此时wxyz，于是, ,y z wS，, ,x y wS；第二种：成立，此时xyzw，于是, ,y z wS，, ,x y wS；第三种：成立，此时yzwx，于是, ,y z wS，, ,x y wS；第四种：成立，此时zwxy，于是, ,y z wS，, ,x y wS.综合
6、上述四种情况，可得, ,y z wS，, ,x y wS.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分( (一一) )必做题必做题(9(91313 题题) )9不等式220xx的解集为_【解析】2,1；易得不等式220xx的解集为2,1.10若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴,则k _.【解析】1；求导得1ykx ,依题意10k ,所以1k .11执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为_.【解析】7；第一次循环后:1,2si；第二次循环后:2,3si；第三次循环后
7、:4,4si；第四次循环后:7,5si；故输出7.12. 在等差数列 na中,已知3810aa,则573aa_.【解析】20；依题意12910ad,所以57111334641820aaadadad或57383220aaaa13. 给定区域D:4440xyxyx ,令点集000000,|,TxyD xyZxy是zxy在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定_ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中zxy取得最小值时的整点为0,1,取得最大值时的整点为 0,4,1,3,2,2,3,1及4,0共5个整点.故可确定5 16 条不同的直线.AEDCBO第 15 题图179201530第
8、 17 题图（二）选做题（二）选做题（1414、1515 题题, ,考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题, ,两题全答的两题全答的, ,只计前一题的得分）只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点 1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_.【解析】sin24；曲线C的普通方程为222xy,其在点 1,1处的切线l方程为2xy,对应的极坐标方程为cossin2,即sin24.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,
9、过C作圆O的切线交AD于E.若 6AB ,2ED ,则BC _.【解析】2 3；依题意易知ABCCDE:,所以ABBC CDDE ,又BCCD,所以212BCAB DE,从而2 3BC .三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,满分满分 8080 分分, ,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. .16（12 分）已知函数( )2cos12f xx,xR.() 求 6f的值； () 若3cos5,3,22,求23f【解析】()2cos2cos2cos1661244f；() 22cos 22cos 2cos2sin233124f因
10、为3cos5,3,22,所以4sin5 ,所以24sin22sincos25 ,227cos2cossin25 所以23fcos2sin272417 252525 .17（12 分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.() 根据茎叶图计算样本均值；() 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；() 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】() 样本均值为17 19202125301322266；() 由()知样本中优秀工人占的比例为21 63,故推断该
11、车间12名工人中有11243名优秀工人.() 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则CDOB EAHCDOxEA向量法图yzB P A 11 48 2 12C C C16 33.18（14 分）如图 1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC ,D E分别是,AC AB上的点,2CDBE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE,其中3A O.() 证明:A O平面BCDE；() 求二面角ACDB的平面角的余弦值.【解析】() 在图 1 中,易得3,3 2,2 2OCACAD连结,OD OE,在OCD中,由余弦定理得222cos455O
12、DOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2A D,所以222A OODA D,所以A OOD,理可证A OOE, 又ODOEOI,所以A O平面BCDE.() 传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结A H,因为A O平面BCDE,所以A HCD,所以A HO为二面角ACDB的平面角.结合图 1 可知,H为AC中点,故3 2 2OH ,从而2230 2A HOHOA所以15cos5OHA HOA H,所以二面角ACDB的平面角的余弦值为15 5.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则0,0, 3A,0, 3,0C,1, 2,0D所以0,3, 3CA uuu r ,
13、1,2, 3DA uuu u r设, ,nx y zr 为平面A CD的法向量,则00n CAn DAr uuu rr uuu u r,即330230yzxyz ,解得 3yxzx ,令1x ,得1, 1, 3n r由() 知,0,0, 3OA uuu r 为平面CDB的一个法向量,.COBDEACDOB EA图 1图 2所以315cos,535n OAn OA n OA r uuu rr uuu r r uuu r,即二面角ACDB的平面角的余弦值为15 5.19（14 分）设数列 na的前n项和为nS.已知11a ,2 1212 33n nSannn,*nN.() 求2a的值；() 求数列 na的通项公式；() 证明:对一切正整数n,有121117 4naaaL.【解析】() 依题意,12122133Sa ,又111Sa,所以24a ；() 当2n 时,32 112233nnSnannn,32 1122111133nnSn
