《2010届高考数学复习必备试题空间几何体的表面积和体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高考数学复习必备试题空间几何体的表面积和体积（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积一一 【课标要求课标要求】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 。 二二 【命题走向命题走向】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求 解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测
2、2010 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题； 三三 【要点精讲要点精讲】 1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱直截面周长lS底h=S直截面h棱 柱直棱柱chS侧+2S底S底h棱锥各侧面积之和棱 锥正棱锥ch21S侧+S底S底h31棱台各侧面面积之和 棱 台正棱台 (c+c)h21S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+31)下底下底SS表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表
3、示侧 棱长。 2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22 )4R2Vr2h(即r2l)r2h31h(r21+r1r2+r22)31R334表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径四四 【典例解析典例解析】 题型 1：柱体的体积和表面积 例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 24)(420)(2z
4、yxzxyzxy )2() 1 (由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）（1）得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。 例 2如图 1 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。3（1）求证：顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体
5、积图 1 图 2 解析：（1）如图 2，连结 A1O，则 A1O底面 ABCD。作 OMAB 交 AB 于 M，作ONAD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N。由三垂线定得得 A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN， RtA1NARtA1MA,A1M=A1N， 从而 OM=ON。 点 O 在BAD 的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=3 21 23AO=。4cosAM223又在 RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，29 29A1O=，平行六面体的体积为。223 22345V230PABCDOE题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积
6、分别是，这个长方体对角线的长是（ 6, 3,2）A2 B3 C6 D326解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b，c，则对角线 l 的长为 l=23；答案 D。6222cba点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。 例 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱 柱分成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1V2= _ _。 解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2Sh。 E、F 分别为 AB、AC 的中点，SAEF=S,41V1=h(S+S+)=Sh31 41 41
7、S127V2=Sh-V1=Sh，125V1V2=75。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型 3：锥体的体积和表面积 例 5 7. (2009 山东卷理)一空间几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为( ).A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底 面边长为2，高为3，所以体积为 212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想
8、象能力,2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.（2009 四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形，ABPAABCPA2, 平面则下列结论正确的是A. ADPB B. PAB平面PBC平面C. 直线BCPAE平面D. 直线ABCPD与平面所成的角为 45【答案答案】D 【解析解析】AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BCAD平面 PAD, 直线BCPAE平面也不成立。在PADRt中，PAAD2AB，PDA45.
9、 D 正确（2009 全国卷文）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于47，则球 O 的表面积等于 答案：答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422 RS例 61.(2009 年广东卷文)（本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH,下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视
10、图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线 BD平面 PEG【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：P EFGHABCD EFGHVVV221406040203200032000640003 2cm（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH , POHF又EGHF HF平面 PEG又BDHFP BD平面 PEG例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 GC2，求点 B
11、 到平面 EFC 的距离？ 解：如图，取 EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 BEFG。设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD，EF，CO。4 2 2 23 44 23 2。GOCOGC22223 2218422()而 GC平面 ABCD，且 GC2。由，得VVB EFGG EFB1 6EFGOh 1 3SEFB点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点，EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程 是解这类题的方法，从而简化了运算。例 82009 年上海卷理）已知三个球的半径1R，2R，3
12、R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是_. 【答案】12323SSS【解析】2 114 RS，112RS，同理：222RS332RS，即 R1 21S，R2 22S，R3 23S，由32132RRR得12323SSS例 9（2009 安徽卷文）（本小题满分 13 分） 如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同点， 且 EA=ED，FB=FC， 和是平面 ABCD 内的两点，和都与平面 ABCD 垂直， （）证明：直线垂直且平分线段 AD （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面 体 ABCD
13、EF 的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分 与整体的基本思想【解析】(1)由于 EA=ED 且EDABCDE DE C面 点 E在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F在线段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形DBAOCEF线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 EF都居线段 AD 的垂直平分线上 所以,直线 EF垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF 两部分.设 AD 中点为 M,在 RtMEE中,由于 ME=1, 32M
14、EEE.EVABCD2114 222333SABCD EE四方形又EVBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC21112 2223323ABCSEEV多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDVEBCF=2 2例 10 （1） （2009 浙江卷理）如图，在长方形ABCD中，2AB ，1BC ，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC在平面ABD内过点D 作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是 答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，1t ，随着 F 点到 C 点时，因,CBAB CBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD ，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有1 2t ，因此t的取值范围是1,12例 113.（2009 浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与
